Método de Euler

Euler explícito

A grande maioria das equações diferenciais de primeira ordem não podem ser resolvidas analiticamente. Para o comportamento a longo prazo de uma solução podemos tentar esboçar um campo de direções, mas se precisamos conhecer mais especificamente como uma solução se comporta, precisamos de outra ferramenta. Os métodos numéricos nos permitem obter soluções aproximadas para as equações diferenciais.

Começando com uma problema genérico de valor inicial:

$${\frac {dy}{dt}}=f\left(t,y\right)\qquad y\left(t_{0}\right)=y_{0}$$

Considerando que conhecemos a função ${\textstyle f\left(t,y\right)}$ e os valores na condição inicial, assumimos que é tudo contínuo de forma que sabemos que uma solução de fato vai existir. Temos então para ${\textstyle t=t_{0}}$:

$$\left.{\frac {dy}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=f\left(t_{0},y_{0}\right)$$

Dessa forma podemos escrever uma reta tangente à curva ${\textstyle y\left(t\right)}$ no ponto ${\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)}$ usando a inclinação ${\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)}$:

$$y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t-t_{0}\right)$$

Para visualizar melhor esta equação, podemos fazer ${\textstyle t_{0}=0}$, ficmos então com ${\textstyle y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)t}$. Desta forma, fica ainda mais evidente que esta é uma equação de reta com inclinação ${\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)}$, e quando ${\textstyle t=t_{0}}$ temos ${\textstyle y=y_{0}}$, ou seja, uma reta que passa pelo ponto ${\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)}$. Para ${\textstyle t_{0}\neq 0}$ temos apenas um deslocamento no eixo.

Então se ${\textstyle t_{1}}$ é perto o suficiente de ${\textstyle t_{0}}$, a equação da reta vai estar perto do valor atual da solução em ${\textstyle t_{1}}$. Então podemos escrever:

$$y_{1}=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t_{1}-t_{0}\right)$$

Podemos repetir o processo, usando agora ${\textstyle y_{1}=y\left(t_{1}\right)}$ como valor inicial, então:

$$y_{2}=y_{1}+f\left(t_{1},y_{1}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$$

Ou de maneira genérica:

$$y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t_{n+1}-t_{n}\right)$$

Podemos ainda reescrever o passo como ${\textstyle t_{n+1}-t_{n}=\Delta t}$, de forma que ficamos com:

$$y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t$$

Outra forma de visualizar o resultado, é considerar a reta:

$$y=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t-t_{n}\right)$$

Como a solução aproximada para o intervalo ${\textstyle \left[t_{n},t_{n+1}\right]}$. Então com um conjunto de retas podemos ter uma aproximação para a solução como um todo.

Exemplo

O primeiro exemplo de aplicação é o decaimento radiativo, cuja equação diferencial é:

$${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$$

Onde ${\textstyle N}$ é a quantidade de partículas que sofrem o decaimento e ${\textstyle \lambda }$ a taxa no qual o decaimento ocorre.

• Notem que a mesma equação pode descrever a diminuição de uma população estéril (${\textstyle N}$ sendo a quantidade de indivíduos vivos e ${\textstyle \lambda }$ a taxa de mortalidade) ou a descarga de um circuito RC.
• A aplicação do método a este exemplo de primeira ordem nos leva a seguinte relação de recorrência

$${\begin{aligned}N_{n+1}&=N_{n}+f\left(t_{n},N_{n}\right)\Delta t\\N_{n+1}&=N_{n}-\lambda N_{n}\Delta t\\N_{n+1}&=N_{n}\left(1-\lambda \Delta t\right)\end{aligned}}$$

Ou mais explicitamente:

$${\begin{aligned}N\left(t_{n+1}\right)&=\left[1-\lambda \Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\\N\left(t_{n}+\Delta t\right)&=\left[1-\lambda \Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\end{aligned}}$$

Implementando:

import matplotlib.pyplot as plt   #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1  #Parâmetros

fac = 1-lam*dt                    #Função calculada
for i in range(Np):               #Vamo calcular Np passos
  N.append(fac*N[i])              #Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])                #printamos o resultado

plt.plot(N)                       #Construimos o gráfico
plt.show()                        #Plotamos

Euler implícito

A equação da reta obtida no euler explícito pode ser obtida a partir da definição da derivada:

$${\frac {dy}{dt}}=f\left(t,y\right)\approx {\frac {y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}}\longrightarrow y\left(t+\Delta t\right)\approx y\left(t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t$$

Mas também podemos escrever a derivada como:

$${\frac {dy}{dt}}=f\left(t,y\right)\approx {\frac {y\left(t\right)-y\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}\longrightarrow y\left(t\right)\approx y\left(t-\Delta t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t$$

Mantendo a notação:

$$y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)\Delta t$$

O termo ${\textstyle f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)}$ não é conhecido, por isso temos uma equação implícita para ${\textstyle y_{n+1}}$. Métodos implícitos podem ser usados quando temos restrições muito rigorosas no método explícito devido a condições de estabilidade.

Exemplo

Trabalhando novamente com o decaimento radioativo:

$${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$$

Vamo ter então:

$${\begin{aligned}N_{n+1}&=N_{n}+f\left(t_{n+1},N_{n+1}\right)\Delta t\\N_{n+1}&=N_{n}-\lambda N_{n+1}\Delta t\\N_{n+1}\left(1+\lambda \Delta t\right)&=N_{n}\\N_{n+1}&={\frac {N_{n}}{1+\lambda \Delta t}}\end{aligned}}$$

Ou mais explicitamente:

$${\begin{aligned}N\left(t_{n}+\Delta t\right)&={\frac {N\left(t\right)}{1+\lambda \Delta t}}\end{aligned}}$$

Uma comparação entre os dois métodos de Euler para o caso do decaimento é simples. Lembando da fórmula recursiva de ambos os casos:

$$N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[1-\lambda \Delta t\right]\qquad e\qquad N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[{\frac {1}{1+\lambda \Delta t}}\right]$$

E fazendo uma expansão em série de Taylor em torno de ${\textstyle 0}$, escrevendo ${\textstyle x=\lambda \Delta t}$, temos:

$${\frac {1}{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}}=\left(1-x\right)+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}}$$

Então os termos são iguais até a primeira ordem, sendo assim uma boa aproximação.

Implementando o método de euler implícito, temos:

import matplotlib.pyplot as plt  #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1 #Parâmetros

fac = 1+lam*dt                   #Função calculada
for i in range(Np):              #Vamo calcular Np passos
  N.append(N[i]/fac)             #Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])               #printamos o resultado

plt.plot(N)                      #Construimos o gráfico
plt.show()                       #Plotamos

Avaliação de erro

Erros computados

Erro 1: curva numérica vs exata

import numpy as np                #Biblioteca com recursos matemáticos
import matplotlib.pyplot as plt   #Biblioteca para plotar gráficos
N0 =10**6;Np=40;lam=0.001;dt=100  #Parâmetros

exp = 1-lam*dt                    #Função calculada para o método explícito
imp = 1+lam*dt                    #Função calculada para o método implícito
NE  = [N0]                        #Lista de valore para o método explícito
NI  = [N0]                        #Lista de valore para o método implícito
T   = [0]                         #Lista de tempos no qual vamos calcular N

#Solução numérica
for i in range(0,Np):             #Vamo calcular Np passos
  NE.append(exp*NE[i])            #Explícito
  NI.append(NI[i]/imp)            #Implícito
  T.append((i+1)*dt)              #Tempo

#Solução analítica
t = np.arange(0.0, 4000, 1)       #Tempo
NA =N0*np.exp(-lam*t)             #Solução

#Construimos o gráfico
plt.plot(T,NE,color='blue', label='Explícito')                             #Solução explícita
plt.plot(T,NI,color='orange', label='Implícito')                           #Solução implícita    
plt.plot(t,NA,color='green', label='Sol. Exata')                           #Solução exata           
plt.title('Decaimento radioativo para  λ = '+str(lam)+' e dt = '+str(dt))  #Título
plt.legend()                                                               #Legenda das curvas
plt.xlabel('Tempo [s]');plt.ylabel('Número de Núcleos [N]')                #Legenda dos eixos
plt.ticklabel_format(style='plain')                                        #Desativar a notação científica
plt.show()                                                                 #Exibir o resultado

Principais materiais utilizados

1. Forward and Backward Euler Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
2. Euler's Method (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
3. Método de Euler (REAMAT, UFRGS)