Algoritmo de Wang-Landau

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g(E)e^{-E/k_{B}T}$ a uma dada temperatura $T$ , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g(E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} . ^[1]

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } não pode ser determinada para sistemas maiores ^[2]. Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } a partir de um passeio aleatório. A estimativa para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) = 1} para todas as energias possíveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é visitada, o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} é incrementado em 1. A estimativa de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E)} é então modificada por um fator multiplicativo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} .

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(E_1 \rightarrow E_2) = min \left( \frac{g(E_1)}{g(E_2)}, 1\right).}

A razão das probabilidades de transição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} podem ser calculados como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p(E_1 \rightarrow E_2)}{p(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.}

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{g(E_1)}p(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}p(E_2 \rightarrow E_1),}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 / g (E1)} é a probabilidade na energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p (E_1\rightarrow E_2)} é a probabilidade de transição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2} .

Se o estado de energia Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_2 } é aceito, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_2) } é multiplicada pelo fator de modificação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f > 1 } de maneira que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_2) \to f \times g(E_2) } e a entrada no histograma para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_2) } é atualizada de forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_2) \to H(E_2) + 1 } . Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_1) } é multiplicada pelo fator de modificação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E_1) \to f \times g(E_1) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_1) } é atualizada de forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E_1) \to H(E_1) + 1 } .

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E) } estar reto (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } iterações verificamos se todos valores possíveis de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E } estão a uma distância, no máximo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x% } de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle H(E) \rangle } . A variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } é denominada "flatness". Quando o histograma está reto, todos estados de energia foram visitados aproximadamente igualmente.

O número de passos, </math> n </math> que devemos realizar antes de checar deve ser maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L*L } onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado pelo menos uma vez.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln g(E) } . Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln g(E) \to \ln g(E) + \ln f } . O valor comumente utilizado para o fator de modificação é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = f_0 = e } .

Quando o histograma é considerado reto, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } de forma que o novo valor será Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 = f_0/2 } , resetamos o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E) } e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } predeterminado. No caso, usamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{final} = \exp (10^{-8}) = 1.00000001 } .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L \times L } que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo^[3] Cada sítio pode ter o valor de spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +1} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} .

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j \rangle}\sigma_i \sigma_j } onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle i,j } indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(T) = \frac{\sum_E Eg(E) e^{-E/k_BT}}{\sum_E g(E) e^{-E/k_BT}} = \langle E \rangle }

Calor específico:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(T) = \frac{\partial U(T)}{\partial T} = \frac{\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle ^2}{k_BT^2} }

Energia livre de Helmoltz:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(T) = -k_BT\ln(Z) = -k_BT\ln\left( \sum_E g(E) e^{-E/k_BT} \right) }

Entropia:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T} }

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E,T) = g(E) e^{-E/k_BT} }

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) = 1} para todos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E } e o fator de modificação inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_0 = e} ;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(E_1 \to E_2) = min(g(E_1)/g(E_2), 1) } ;

3. Modifico a densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) \to g(E) \times f } e atualizo o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln f} pela metade e reseto o histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} ;

5. Repito os passos 2-4 até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f < 1.00000001 } .

6. Obtendo a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } , posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Resultados

Densidade de estados

A estimativa da densidade de estados para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16} usando a amostragem de Wang-Landau é mostrada na Fig. 1, junto com os resultados exatos de Beale ^[2].

Os fatores de modificação inicial e final para os passeios aleatórios foram Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ln(f_0) = 1 e ln(f_{final}) = 10^{−8} } .

O histograma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(E)} foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle H(E)\rangle } .

A densidade absoluta de estados na Fig. 1 é obtida pela condição de que o número de estados fundamentais seja 2 para o modelo de Ising 2D.

Com a escala logarítmica usada na Fig. 1, os dados simulados e a solução exata se sobrepõem perfeitamente. Na inserção da Fig. 1, vemos que o erro relativo é, de fato, muito pequeno.

Figura 1: Logaritmo da densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln g(E) } do modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16 } .

Distribuição canônica

Podemos calcular a distribuição canônica usando a equação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E, T) = g(E)e^{−E/k_BT}} a qualquer temperatura, sem a necessidade de realizar várias simulações.

Na Fig. 2, mostramos a distribuição canônica resultante na temperatura crítica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} , que exibe um único pico.

Figura 2: Distribuição canônica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E,T_c) = g(E)e^{-E/k_BT_c} } na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT_c = 2.3 } .

As distribuições em temperaturas acima e abaixo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} também apresentam pico único, conforme ilustrado no detalhe da Fig. 3.

Figura 3: Distribuição canônica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E,T) = g(E)e^{-E/k_BT} } nas temperaturas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 2.2 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 2.4 } do modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16 } .

Quantidades termodinâmicas

Os resultados simulados, calculados diretamente com as equações descritas no capítulo anterior, e as soluções exatas se sobrepõem quase perfeitamente em uma ampla região de temperatura de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT = 0 - 8} .

Testes mais rigorosos de precisão são fornecidos a partir dos erros relativos para as respectivas quantidades termodinâmicas. Os erros relativos são muito pequenos para toda a região de temperatura de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_BT = 0 - 8} .

Como o sistema tem uma transição de fase de segunda ordem, a primeira derivada da energia livre é uma função contínua da temperatura. Não há saltos na energia interna ou na entropia, mesmo no limite, pois o tamanho do sistema vai para o infinito.

Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = 16 } calculado a partir da densidade de estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(E) } . Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos inset são os erros relativos.

Código

from scipy import *
import sys
import numpy as np

#Rede aleatória para Ising 2D
def RandomL(N):
    latt=zeros((N,N),dtype=int)
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            latt[i,j]=sign(2*rand()-1)
    return latt
    
#Energia da rede
def CEnergy(latt):
    Ene=0
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            S=latt[i,j]
            WF=latt[(i+1)%N,j]+latt[i,(j+1)%N]+latt[(i-1)%N,j]+latt[i,(j-1)%N]
            Ene+=-WF*S
    return int(Ene/2.)
    
    #Quantidades termodinâmicas usando a densidade de estados
def Thermod(T,lngE,Energies,E0):
    Z=0
    Ev=0
    E2v=0
    for i,E in enumerate(Energies):
        #w=exp(lngE[i]-lngE[0]-(E+E0)/T)
        w=exp(lngE[i]-E/T)
        Z+=w
        Ev+=w*E
        E2v+=w*E**2
        #print(i, E, lngE[i], w, Z, Ev)
    Ev*=1./Z
    cv=(E2v/Z-Ev**2)/T**2
    F = -T*np.log(Z)
    S = (Ev - F)/T
    return (Ev/N2,cv/N2,F/N2,S/N2)
    
    #Algoritmo de Wang-Landau
def WangLandau(Nitt,N,N2,indE,E0,flatness):
    latt=RandomL(N)
    Ene=CEnergy(latt)
    lngE=zeros(len(Energies),dtype=float)
    Hist=zeros(len(Energies),dtype=float)
    lnf=1.0
    itt = 0
    while exp(lnf) > fmin:
        itt = itt + 1
        ii=int(rand()*N2)       
        (i,j)=(ii%N,ii/N) 
        i=int(rand()*N)
        j=int(rand()*N)
        S=latt[i,j] 
        WF=latt[(i+1)%N,j]+latt[i,(j+1)%N]+latt[(i-1)%N,j]+latt[i,(j-1)%N]
        Enew=Ene+2*S*WF
        P=exp(lngE[indE[Ene+E0]]-lngE[indE[Enew+E0]])
        #P=exp(lngE[indE[Ene]]-lngE[indE[Enew]])
        if P>rand():   
            latt[i,j]=-S        
            Ene=Enew       
        Hist[indE[Ene+E0]]+=1.
        #Hist[indE[Ene+E0]]+=1.
        lngE[indE[Ene+E0]]+=lnf
        #lngE[indE[Ene]]+=lnf
        if itt%100==0:
            aH=sum(Hist)/(N2+0.0) 
            mH=min(Hist)          
            if mH>aH*flatness:  
                Hist=zeros(len(Hist)) 
                lnf/=2.             
                print("iteracao =", itt, 'f=', exp(lnf))
    return lngE,Hist
    
from scipy import *
import sys
from pylab import *
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

Nitt=10000000
fmin = 1.00000001
print(fmin)
N=16
flatness=0.8
N2=N*N

# energias possiveis
Energies = (4*arange(N2+1)-2*N2).tolist()
print(Energies)
Energies.pop(1)   
Energies.pop(-2)
E0=Energies[-1]
print(Energies)                      
indE=-ones(E0*2+1,dtype=int)

for i,E in enumerate(Energies):
  indE[E+E0]=i

    
lngE=np.load('lngE.npy')
Hist=np.load('Hist.npy')

Hist *= len(Hist)/sum(Hist)

len(lngE),len(Hist)

from pylab import *
EE=array(Energies);EE=EE/(N*N)
plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
#plot(EE,Hist,'-s',markersize=2.0,label='Histogram')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

f=open('bealeL16.dat','r');f=f.readlines()

beale=[]
for i in range(len(f)):
  beale.append(float(f[i]))

plot(Energies,beale,label='Exata')
xlabel('Energia')
ylabel('ln[g(E)]')
legend(loc='best')
show()

plot(EE,beale,label='Exata')
plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

#Erro relativo

erro=[]
for i in range(len(lngE)):
  erro.append((abs(lngE[i]-beale[i]))/beale[i])

plot(Energies,erro)
xlabel('Energia')
ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
#legend(loc='best')
yscale('log')
show()

from mpl_toolkits.axes_grid.inset_locator import (inset_axes,InsetPosition,mark_inset)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
ax1.plot(EE,beale,label='Exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$ln[g(E)]$')
ax1.set_xlim(-2.,4.)
ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(EE,erro)
ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
savefig('fig1.png')
show()

print(beale[0:5])

print(lngE[0:5])

lmb23 = -1**300
lmb23e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo23 = lngE[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23 > lmb23:
    lmb23 = termo23
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo23e = beale[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23e > lmb23e:
    lmb23e = termo23e
  i = i+1

print(lmb23,lmb23e)

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

E=array(Energies);E1=E/N2
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

E=array(Energies);E1=E/N2
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N2-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N2-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

Te = linspace(0,8,255)
Thm=[];Thm_exact=[]

for T in Te:
  Thm.append(Thermod(T, lngE, Energies, E0))
  Thm_exact.append(Thermod(T, beale, Energies, E0))

Thm = array(Thm)
Thm_exact=array(Thm_exact)

#Energia interna
plt.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$U(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Calor específico
plt.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$C(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$F(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Entropia
plt.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$S(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

erroUt=(abs(Thm[:,0]-Thm_exact[:,0]))/abs(Thm_exact[:,0])
erroCt=(abs(Thm[:,1]-Thm_exact[:,1]))/Thm_exact[:,1]
erroFt=(abs(Thm[:,2]-Thm_exact[:,2]))/abs(Thm_exact[:,2])
erroSt=(abs(Thm[:,3]-Thm_exact[:,3]))/Thm_exact[:,3]

#Erro relativo para energia interna
plt.plot(Te,erroUt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para calor específico
plt.plot(Te,erroCt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,erroFt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para entropia
plt.plot(Te,erroSt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

figure(figsize=(10,8))

ax1=subplot(2,2,1)
ax1.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
ax1.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
ax1.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax1.set_ylabel(r'$U(T)/N$')
ax1.legend(loc='best')
ax12=axes([1,0,0,0])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax12.set_axes_locator(ip)
ax12.plot(Te,erroUt)
ax12.set_yscale('log')
ax12.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax12.set_ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')

ax2=subplot(2,2,2)
ax2.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
ax2.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
ax2.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax2.set_ylabel(r'$C(T)/N$')
ax2.legend(loc='best')
ax22=axes([0,1,0,0])
ip=InsetPosition(ax2,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax22.set_axes_locator(ip)
ax22.plot(Te,erroCt)
ax22.set_yscale('log')
ax22.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax22.set_ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')

ax3=subplot(2,2,3)
ax3.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
ax3.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
ax3.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax3.set_ylabel(r'$F(T)/N$')
ax3.legend(loc='best')
ax32=axes([0,0,1,0])
ip=InsetPosition(ax3,[0.25,0.2,0.3,0.3])
ax32.set_axes_locator(ip)
ax32.plot(Te,erroFt)
ax32.set_yscale('log')
ax32.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax32.set_ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')

ax4=subplot(2,2,4)
ax4.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
ax4.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
ax4.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax4.set_ylabel(r'$S(T)/N$')
ax4.legend(loc='best')
ax42=axes([0,0,0,1])
ip=InsetPosition(ax4,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax42.set_axes_locator(ip)
ax42.plot(Te,erroSt)
ax42.set_yscale('log')
ax42.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax42.set_ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
savefig('fig3.png')
show()

Referências

↑ D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017
↑ ^2,0 ^2,1 P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78
↑ A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wiki da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising

[wanglandau-1] D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017

[beale-2] 2,0 ^2,1 P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78

[ising-3] A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wiki da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising

[1]

[2]

[3]

Algoritmo de Wang-Landau

Índice

Introdução