Motility-Induced Phase Separation(MIPS)

Grupo: Bernardo Boatini e Murilo Kessler Azambuja

Introdução

A matéria ativa é um tipo de sistema fora do equilíbrio termodinâmico, onde cada "partícula" ou "agente" do sistema tem a capacidade dissipar energia na forma de forças mecânicas exercidas sobre o ambiente no qual está imerso. Esses sistemas muitas vezes podem exibir vários fenômenos novos, como movimentos coletivos quando exige-se um alinhamento das partículas (Como bio-polímeros que se auto organizam, tipo os microtúbulos que são parte do citoesqueleto celular, ou cardumes de peixe, por exemplo), ou os chamados MIPS (Motility-Induced Phase Separation) que são sistemas que apresentam uma mudança de fase física devido à interações que proíbem a ocupação simultânea de um volume do espaço por duas partículas simultâneas. Nestes sistemas, os agentes possuem a capacidede de auto-propulsão, de forma que a condição de balnço detalhado é quebrada no nível microscópico, uma vez que as partículas possuem uma direção preferencial de movimento.Estes tipos de sistema muitas vezes podem ser tratados a partir de uma abordagem hidrodinâmica, na qual são chamados de fluidos ativos, e divergem do comportamento usual de fluidos compostos de matéria usual inativa, os quais são descritos pela equação de Navier-Stokes.

Apesar desses sistemas fundamentalmente quebrarem a condição do balanço detalhado, ainda não é claro se o comportamento estatístico universal de sistemas de fluidos ativos necessariamente divergem daqueles de de sistemas em equilíbrio. A investigação de comportamentos universais nestes tipos de sistema, além de ser um interece central na física, também pode nos permitir utilizar conhecimentos já bem conhecidos (como a transição de fase em sistemas de matéria em equilíbrio termodinâmico) para descrever sistemas novos. Neste trabalho foi reproduzido o artigo ^[1] onde foi investigada o comportamento crítico de um sistema com MIPS e se viu que este tipo de sistema pertence à classe de universalidade de sistemas em equilíbrio como o modelo de Ising para spin. Para tal, foi utilizada três abordagens diferentes: um modelo hidrodinâmico, uma descrição baseada em teoria de campos e a simulação de um modelo de rede hexagonal.

Modelo

O sistema geral que estamos interessados em descrever é constituído de um conjunto de partículas em um meio com friccção, i.e, em um sistema sem conservação de momentum e com interações que não permitem a ocupação simultânea de duas partículas em um mesmo sítio (FIG. 1).

FIGURA 1: Imagem retirada de ^[1]. Em (a) vemos a difusão devido à rotação da direção de movimento preferencial da partícula, em (b) temos o "movimento balístico" (seta verde) e a difusão devido à translação da partícula (setas azuis) e, em (c), vemos a interação entre partículas em sítios vizinhos, impedindo a ocupação simultânea do mesmo sítio por duas partículas.

Uma forma de modelar este sistema é considerá-lo um fluido ativo polar e compressível sem interações de alinhamento entre partículas, de forma que não se espera observar movimentos coletivos. Tal sistema é descrito de forma contínua pela chamada equação de Toner-Tu.

De um ponto de vista microscópico, podemos usar uma formulação discreta baseada na teoria de campos. Neste caso, consideramos uma rede hexagonal bidimensional, com o numero de ocupação de cada sítio da rede restringido por uma constante $M$ (futuramente diremos que $M=1$ , de forma que apenas uma partícula pode ocupar cada sítio).

Modelo no Continuo

As equações de Tuner-Tu são dadas por ^[1]

\partial _{t}\rho +\nabla \cdot \mathbf {g} =0,\qquad (1a)

$\partial _{t}\mathbf {g} =-\zeta \nabla \rho -\kappa \mathbf {g} +\mu \nabla ^{2}\mathbf {g} +\mathbf {f} .\qquad (1b)$

Onde $\rho$ é o campo de densidade de massa e $\mathbf {g}$ é o campo de densidade de momentum. A equação (1a) diz respeito à conservação de massa do sistema como um todo. A equação (1b) se assemelha muito à equação de Navier-Stokes, assim podemos ver que o primeiro termo da equação caracteriza a compressibilidade do fluido, o segundo termo representa uma difusão do campo de momentum (o sinal negativo indica que o campo de momentum diminui com o passar do tempo), o terceiro termo representa a viscosidade do fluido e $\mathbf {f}$ é um ruído Gaussiano com estatísticas espaço-temporais dadas por

$\langle \mathbf {f} (t,\mathbf {r} )\rangle =0,\ \langle \mathbf {f} (t,\mathbf {r} )\mathbf {f} (t',\mathbf {r'} )\rangle =2D\delta (t-t')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ),$

onde $D$ é a intensidade do ruído.

Modelo no Discreto

Como já foi dito antes, no modelo discreto é utilizado uma rede bidimensional hexagonal com número de ocupação máximo $M$ para cada sítio da rede. Os agentes são divididos em seis tipos distintos de partículas ativas, cada uma se move em uma direção $\theta _{i}$ (as diagonais do hexágono) e somente vai saltar para o sítio adjacente ao longo desta direção, com uma taxa que depende da ocupação do sítio em questão. Além disso, é possível que uma partícula se transforme em outra, com uma taxa $\sigma$ , correspondendo assim a um ruído rotacional de cada partícula. Utilizando a notação utilizada em ^[1], temos que a rede hexagonal é caracterizado pelo conjunto de vetores $\mathbf {R}$ e a orientação ou tipo da partícula ativa pelo índice $i$ . Desta forma o número de partículas do tipo $i$ ocupando o sítio $\mathbf {R}$ da rede é denotado por $A_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}$ . Com o formalismo desenvolvido em ^[2], temos que a teoria de campos nos fornece para o modelo uma ação dada por

$S=\int dt\sum _{\mathbf {R} }{\Bigg \{}\sum _{i}{\Bigg [}{\hat {A}}_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}\partial _{t}A_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}\qquad (2a)$

$-\gamma {\Big (}M-N_{\mathbf {R} +\mathbf {e} _{\theta _{i}}}{\Big )}A_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}{\Big (}e^{{\hat {A}}_{\mathbf {R} +\mathbf {e} _{\theta _{i}}}^{\theta _{i}}-{\hat {A}}_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}}-1{\Big )}{\Bigg ]}\qquad (2b)$

$-\sum _{\langle i,j\rangle }\sigma A_{\mathbf {R} }^{\theta _{i}}{\Big (}e^{{\hat {A}}_{\mathbf {R} -{\hat {A}}{\theta _{i}}_{\mathbf {R} }}^{\theta _{j}}}-1{\Big )}{\Bigg \}},\qquad (2c)$

Implementação

Nessa secção serão colocados alguns detalhes da implementação da rede, das medidas e da dinâmica de Monte Carlo.

Algoritmo

A dinâmica de Monte Carlo foi implementada de forma que a cada MCS, N partículas do sistema são selecionadas aleatoriamente:

- Primeiramente a partícula decide se vai mudar seu sentido( $\theta$ ) sorteando um valor $d$ através de uma distribuição gaussiana centrada em 0, com variância igula a intencidade do ruído $\sigma$ ;

- A nova direção é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta + d.60°} ;

- Depois disso a partícula tem probabilidade $24/30$ de andar para o sitio vizinho naquela direção(se ele estiver vazio);

- Caso a partícula não decida andar naquela direção, ela se desloca na direção de outro sitio vizinho(se ele estiver vazio) sorteado aleatoriamente(emulando o comportamento difusivo).

Redes Hexagonais

Em modelos do tipo LGCA(Lattice Gas Celular Automata) o tipo de rede, bem como as topologias usadas, podem ser determinantes para as medidas e caracterizações do estado macroscópico. A simetria hexagonal se mostra uma boa alternativa para aumentar os graus de liberdade de uma partícula numa rede, quando comparada com a simetria quadrada. Na geometria hexagonal, assim como na quadrada, todos os sítios vizinhos possuem uma mesma distancia entre si só que com 6 graus de liberdade ao invés de quatro.

FIGURA 2: Imagem adaptada de ^[3]. As setas duplas em verde sinalizam os sentidos que seguem trajetórias fechadas passando por só uma borda na topologia "armchair"(a) e "zigzag" (b)

Existem duas topologias possíveis em uma rede hexagonal: "zigzag" e "armchair"^[3], e a diferença das duas está principalmente na implementação das condições de contorno periódicas. No caso da topologia em "zigzag"(FIG.2a), o espaço é representado em um paralelogramo, e existem 4 sentidos em que cruzando uma parede a partícula fecha sua trajetória sem ter que cruzar nova mente outra parede do sistema. Na topologia "armchair"(FIG.2b) por outro lado só existem 2 sentidos em que isso acontece.

Sub-Box Sampling Method

O método das subcaixas consiste em dividir o sistema em uma certa quantidade de subsistemas de interesse, permitindo observar a flutuação de densidades apenas nessas regiões.

Nesse trabalho o sistema foi dividido em 4 caixas de tamanho $L\times L$ : 2 centradas no centro de massa horizontal do sistema e duas centradas na região horizontal "mais rarefeita", que consequentemente esta a uma distancia de $3L$ do centro de massa.

Quando os parâmetros permitem que haja separação de fase, duas subcaixas ficam posicionadas exatamente sobre o centro da fase liquida e a mesma coisa para a fase gasosa, permitindo uma medição mais precisa das flutuações de densidade sem considerar as regiões de fronteira.

Porém, essas flutuações se tornam especialmente relevantes no ponto crítico, onde o uso de subcaixas se torna especialmente importante na extração medidas para classificar a transição de fase do modelo em analise.

Medida 1

A primeira medida utilizada para comparar o MIPS com o Ising foi a incompressibilidade isotérmica dos subsistemas $\chi _{L}$ definida da seguinte forma

$\chi _{L}={\frac {\langle N^{2}\rangle _{L}-\langle N\rangle _{L}^{2}}{\langle N\rangle _{L}}}$

onde $\langle N\rangle _{L}$ denota a média do número de partículas contidas em um subsistema de tamanho L.

(explicar com qual expoente se relaciona e como calcular o erro)

Medida 2

Explicar a medida 2

Resultados

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Referência

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 https://arxiv.org/pdf/1810.06112.pdf Benjamin Partridge, Chiu Fan Lee, "CRITICAL MOTILITY-INDUCED PHASE SEPARATION BELONGS TO THE ISING UNIVERSALITY CLASS"
↑ Disponível em: https://arxiv.org/pdf/0709.1325.pdf Alexandre Lefèvre, Giulio Biroli, "DYNAMICS OF INTERACTING PARTICLE SYSTEMS: STOCHASTIC PROCESS AND FIELD THEORY"
↑ ^3,0 ^3,1 HATZIKIROU, Haralambos et al. Extracting cellular automaton rules from physical Langevin equation models for single and collective cell migration. Journal of Mathematical Biology, [s. l.], 2017.

[BENJAMIN-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 https://arxiv.org/pdf/1810.06112.pdf Benjamin Partridge, Chiu Fan Lee, "CRITICAL MOTILITY-INDUCED PHASE SEPARATION BELONGS TO THE ISING UNIVERSALITY CLASS"

[ALEXANDRE-2] Disponível em: https://arxiv.org/pdf/0709.1325.pdf Alexandre Lefèvre, Giulio Biroli, "DYNAMICS OF INTERACTING PARTICLE SYSTEMS: STOCHASTIC PROCESS AND FIELD THEORY"

[CELULAR-3] 3,0 ^3,1 HATZIKIROU, Haralambos et al. Extracting cellular automaton rules from physical Langevin equation models for single and collective cell migration. Journal of Mathematical Biology, [s. l.], 2017.

[1]

[2]

[3]

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