Equação de Águas Rasas

Grupo: Gabriel Schmökel e Julia Remus

Em construção

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico. ^[1]

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

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Descrição Física

As equações de águas rasas são as equações físicas que descrevem o fenômeno do Tsunami, em uma dimensão elas são dadas por:

${\dfrac {\partial \eta }{\partial t}}+{\dfrac {\partial uD}{\partial x}}=0\qquad (1)$

${\dfrac {\partial \eta u}{\partial t}}+{\dfrac {\partial \left(\eta u^{2}+{\dfrac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)}{\partial x}}=-g\eta {\dfrac {\partial h}{\partial x}}\qquad (2)$

Na representação do fluxo de descarga estas equações se tornam:

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial M}{\partial x}}=0\qquad (3)$

${\frac {\partial M}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {M^{2}}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0\qquad (4)$

As componentes da equação de águas rasas podem ser melhor interpretadas através da seguinte figura:

$\eta =\eta (x,t)$ corresponde a amplitude da onda, $h=h(x)$ determina a profundidade do mar em repouso, $D$ é o deslocamento total da água, $u$ é a velocidade do fluído e $M$ é o fluxo de descarga.

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

${\frac {d\rho }{dt}}+\nabla .(\rho \mathbf {u} )=0\qquad (5)$

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\nabla .{\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {g} =0\qquad (6)$

$\rho$ é a densidade; p é a pressão; $\mathbf {u} =(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; $\mathbf {g}$ é o vetor aceleração da gravidade; ${\boldsymbol {\tau }}$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por $\tau _{ij}$ , no qual $i$ indica a direção e $j$ o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno ^[2] para a superfície $z(x,y,t)$ e para a profundidade do oceano $h(x,y)$ :

${\frac {D\eta }{Dt}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\mathbf {v} .\nabla \eta =w$ , onde $z=\eta (x,y,t)\qquad (7)$

$\mathbf {u} .\nabla (z+h(x,y))=0$ , onde $z=-h(x,y)\qquad (8)$

$\eta$ é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, $\mathbf {v} =(x,y,0)$ é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (5) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano $\rho$ não varia significativamente com o tempo e a posição.

$\nabla .\mathbf {u} =0\qquad (9)$

Integrando a expressão da continuidade em (9), utilizando a regra da integral de Leibniz ^[3], com os limites indo de $-h(x,y)$ até $\eta (x,y,t)$ chegamos na seguinte expressão:

$\int _{-h}^{\eta }\nabla .\mathbf {u} =\int _{-h}^{\eta }{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}{\Big )}dz={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz+w{\Big |}_{-h}^{\eta }+\mathbf {u} .\nabla (z+h(x,y)){\Big |}_{-h}^{\eta }-u{\Big |}_{-h}^{\eta }{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-v{\Big |}_{-h}^{\eta }{\frac {\partial \eta }{\partial y}}\qquad (10)$

Teorema de Leibniz:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\qquad (11)$

Substituindo as condições de contorno da profundidade (8) em (10) obtemos:

${\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz-w{\Big |}_{eta}-\mathbf {v} .\nabla \eta =0\qquad (12)$

Substituindo a condição de contorno da superfície (7) em (12):

${\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz+{\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial u(\eta +h)}{\partial x}}+{\frac {\partial v(\eta +h)}{\partial y}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial uD}{\partial x}}+{\frac {\partial vD}{\partial y}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}$

$\Rightarrow {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial uD}{\partial x}}+{\frac {\partial vD}{\partial y}}=0\qquad (13)$

(13) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde $D$ é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (13) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma ^[4]:

$M={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{-h}^{\eta }udz=uD\qquad (14)$

$N={\frac {\partial }{\partial y}}\int _{-h}^{\eta }vdz=vD\qquad (15)$

Substituindo (14) e (15) em (13) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

$\Rightarrow {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}=0\qquad (16)$

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (17) }

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (18) }

${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}+g_{z}=0\qquad (19)$

Na componente z em (19) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes $g_{x}$ e $g_{y}$ em (17) e (18), passamos a definir $g_{z}=g$ .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (19) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

$\partial P=\rho g\partial z\Rightarrow P=\rho g(\eta -z)\qquad (20)$

Substituindo a pressão em (17):

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}+g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0\qquad (21)$

Integrando a expressão (21), utilizando a regra da integral de Leibniz e as condições de contorno (7) e (8), com os limites indo de $-h(x,y)$ até $\eta (x,y,t)$ chegamos em outra das equações de águas rasas:

${\frac {\partial uD}{\partial t}}+{\frac {\partial u^{2}D}{\partial x}}+{\frac {\partial uvD}{\partial y}}+{\frac {g}{2}}{\frac {\partial D^{2}}{\partial x}}=0\qquad (22)$

Generalizando a equação (22), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

${\frac {\partial vD}{\partial t}}+{\frac {\partial v^{2}D}{\partial y}}+{\frac {\partial uvD}{\partial x}}+{\frac {g}{2}}{\frac {\partial D^{2}}{\partial y}}=0\qquad (23)$

Na representação de fluxo de cargas as expressões (22) e (23) são apresentadas respectivamente como:

${\frac {\partial M}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {M^{2}}{D}}{\Big )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {MN}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0\qquad (24)$

${\frac {\partial N}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {N^{2}}{D}}{\Big )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {MN}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0\qquad (25)$

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse ${\boldsymbol {\tau }}$ . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos $\tau _{ij}$ onde $i\neq j$ , e as perpendiculares por elementos $\tau _{ij}$ onde $i=j$

Decompondo nas componentes x,y, e z de ${\frac {1}{\rho }}\nabla .{\boldsymbol {\tau }}$ presente em (6):

${\frac {1}{\rho }}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}\tau _{xx}+{\frac {\partial }{\partial y}}\tau _{xy}+{\frac {\partial }{\partial z}}\tau _{xz}{\Big )}\qquad (26)$

${\frac {1}{\rho }}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}\tau _{yx}+{\frac {\partial }{\partial y}}\tau _{yy}+{\frac {\partial }{\partial z}}\tau _{yz}{\Big )}\qquad (27)$

${\frac {1}{\rho }}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}\tau _{zx}+{\frac {\partial }{\partial y}}\tau _{zy}+{\frac {\partial }{\partial z}}\tau _{zz}{\Big )}\qquad (28)$

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

$\tau _{xy}=\tau _{yx}=\mu {\Big (}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}{\Big )}\qquad (29)$

$\tau _{xz}=\tau _{zx}=\mu {\Big (}{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\Big )}\qquad (30)$

$\tau _{yz}=\tau _{zy}=\mu {\Big (}{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\Big )}\qquad (31)$

Substituindo (29),(30) em (26), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (7) e (8), obtemos:

$\int _{-h}^{\eta }{\frac {1}{\rho }}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}\tau _{xx}+{\frac {\partial }{\partial y}}\tau _{xy}+{\frac {\partial }{\partial z}}\tau _{xz}{\Big )}={\frac {\tau _{x}}{\rho }}-A{\Big (}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}M{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}M{\Big )}\qquad (32)$

Onde $A$ é a constante de viscosidade turbulenta, $\tau _{x}$ é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos negligenciar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar. ^[5]

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} é } é:

${\frac {\tau _{x}}{\rho }}={\frac {fM}{2D^{2}}}(M^{2}+N^{2})^{1/2}\qquad (33)$

$f$ é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning $n$ é mais usado, alguns valores deste coeficiente são: ^[6]

Material	Coeficiente de Rugosidade de Manning $(n)$
Cimento puro e metal liso	0,010
Terra lisa	0,017
Pedras, ervas daninhas	0,035
Péssimo relevo de canal	0,060
Bom relevo de canal	0,025

O coeficiente de fricção $f$ e o de rugosidade de Meanning $n$ estão relacionados por:

$f={\frac {2gn^{2}}{D^{1/3}}}\qquad (34)$

Substituindo (34) em (33) obtemos:

${\frac {\tau _{x}}{\rho }}={\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}M(M^{2}+N^{2})^{1/2}\qquad (35)$

Generalizando a expressão (31) para a componente y. ${\frac {\tau _{y}}{\rho }}={\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}N(M^{2}+N^{2})^{1/2}\qquad (36)$

Adicionando, repectivamente, (35) e (36) nas expressões (24) e (26), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

${\frac {\partial M}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {M^{2}}{D}}{\Big )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {MN}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}M(M^{2}+N^{2})^{1/2}=0\qquad (37)$

${\frac {\partial N}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {N^{2}}{D}}{\Big )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {MN}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}N(M^{2}+N^{2})^{1/2}=0\qquad (38)$

Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente $y$ das expressões (16),(37) e (38).

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido ^[7]^[8]. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção ${\vec {z}}$
A aceleração na direção da velocidade na direção ${\vec {z}}$ é zero
As componentes das velocidades em ${\vec {x}}$ e em ${\vec {y}}$ ( ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ ) não variam em ${\vec {z}}$

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

${\dfrac {\partial D}{\partial t}}+{\dfrac {\partial Du}{\partial x}}+{\dfrac {\partial Dv}{\partial y}}=0\qquad (39)$

${\dfrac {\partial Du}{\partial t}}+{\dfrac {\partial \left(\partial Du^{2}+{\dfrac {1}{2}}gD^{2}\right)}{\partial x}}+{\dfrac {Duv}{\partial y}}=-gD{\dfrac {\partial b}{\partial x}}\qquad (40)$

${\dfrac {\partial Dv}{\partial t}}+{\dfrac {Duv}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \left(Dv^{2}+{\dfrac {1}{2}}gD^{2}\right)}{\partial y}}=-gD{\dfrac {\partial b}{\partial y}}\qquad (41)$

Onde $D$ é a altura do fluido desde a base, ${\vec {u}},{\vec {v}}$ são as velocidades médias na direções ${\vec {x}},{\vec {y}}$ , $g$ é a constante gravitacional e $b(x,y)$ é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.

Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

${\dfrac {D_{i,j}^{t+\Delta t}-D_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(Du)_{i+1,j}^{t}-(Du)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(Dv)_{i,j+1}^{t}-(Dv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=0\qquad (42)$

${\dfrac {(Du)_{i,j}^{t+\Delta t}-(Du)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(Du^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i+1,j}^{t}-(Du^{2}+{\cfrac {1}{2}}gh^{2})_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(Duv)_{i,j+1}^{t}-(Duv)_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gD_{i,j}^{t}b_{x.i,j}\qquad (43)$

${\dfrac {(Dv)_{i,j}^{t+\Delta t}-(Dv)_{i,j}^{t}}{\Delta t}}+\left[{\dfrac {(Duv)_{i+1,j}^{t}-(Duv)_{i-1,j}^{t}}{2\Delta x}}\right]+\left[{\dfrac {(Dv^{2}+1/2gD^{2})_{i,j+1}^{t}-(Dv^{2}+1/2gD^{2})_{i,j-1}^{t}}{2\Delta y}}\right]=-gD_{i,j}^{t}b_{y.i,j}\qquad (44)$

Forma não Conservativa

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16),(37) e (38). Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal.

Discretizando a expressão (16):

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial uD}{\partial x}}+{\frac {\partial vD}{\partial y}}=0\qquad (45)$

$\Rightarrow {\frac {\eta (x,y,t+\Delta t)-\eta (x,y,-t)}{\Delta t}}=-{\frac {M(x+\Delta x,y,t)-M(x-\Delta x,y,t)}{2\Delta x}}-{\frac {N(x,y+\Delta x,t)-N(x,y-\Delta y,t)}{2\Delta y}}\qquad (46)$

$\eta _{i,j}^{n+1}=\eta _{i,j}^{n}-\Delta t{\Bigg (}{\frac {M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x}}+{\frac {N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y}}{\Bigg )}\qquad (47)$

Discretizando a expressão (37):

$\Rightarrow {\frac {\partial M}{\partial t}}=-{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {M^{2}}{D}}{\Big )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {MN}{D}}{\Big )}+gD{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}M(M^{2}+N^{2})^{1/2}{\Bigg )}\qquad (48)$

Definindo as quantidades:

$M2\equiv {\frac {M^{2}(x,y,t)}{D(x,y,t)}}\qquad (49)$

$MN\equiv {\frac {M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)}}\qquad (50)$

$f(x,y,t)\equiv {\frac {gn^{2}}{D^{7/3}}}M(M^{2}+N^{2})^{1/2}\qquad (51)$

Das quantidades definidades e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos a respectiva avanço temporal para M:

$M_{i,j}^{n+1}=M_{i,j}^{n}-\Delta t{\Bigg (}{\frac {M2_{i+1,j}^{n}-M2_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x}}+{\frac {(MN)_{i,j+1}^{n}-(MN)_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y}}+gD_{i,j}^{n}{\frac {\eta _{i+1,j}^{n}-\eta _{i-1,j}^{n}}{2\Delta x}}+f_{i,j}^{n}{\Bigg )}\qquad (52)$

Generalizando a expressão (52) para o fluxo de descarga N temos:

$N_{i,j}^{n+1}=N_{i,j}^{n}-\Delta t{\Bigg (}{\frac {N2_{i,j+1}^{n}-M2_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y}}+{\frac {(MN)_{i+1,j}^{n}-(MN)_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x}}+gD_{i,j}^{n}{\frac {\eta _{i+1,j}^{n}-\eta _{i-1,j}^{n}}{2\Delta y}}+f_{i,j}^{n}{\Bigg )}\qquad (53)$

Simulações Computacionais de Tsunamis

Solução em 1D

Para a solução em uma direção foi utilizado os mesmos códigos abaixo descritos, desconsiderando a contribuição da direção ${\vec {y}}$ . Após a descrição dos programas desenvolvidos, será apresentada uma comparação entre ele e o 2D (conservativo e dissipativo).

Forma conservativa 2D

As equações (42),(43) e (44) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis $h$ , $u$ e $v$ .

As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:

$u(x_{f},y)=-u(x_{f}-\Delta x,y)$

$u(x_{i},y)=-u(x_{i}+\Delta x,y)$

$v(x,y_{f})=-v(x,y_{f}-\Delta y)$

$v(x,y_{i})=-v(x,y_{i}+\Delta y)$

Nos contornos de x: ${\tfrac {\partial h}{\partial x}}=0$ , discretizando essa derivada temos que: $h_{i(+/-)1,j}=h_{i,j}$

Nos contornos de y: ${\tfrac {\partial h}{\partial y}}=0$ , discretizando essa derivada temos que: $h_{i,j(+/-)1}=h_{i,j}$

Código

O código foi escrito na linguagem Python.

#%% Bibliotecas 
import numpy as np

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import animation
import matplotlib.patches as mpatches
from IPython.display import HTML, Image

#%% Parametros

L_xf = 10.0  # m
L_x0 = -L_xf

NX = 100

dx = (L_xf - L_x0) / NX


L_yf = 10.0  # m
L_y0 = -L_yf

NY = 100

dy = (L_yf - L_y0) / NY

N_INNER = (NX - 2) * (NY - 2)

g = 9.8 # m /s^2

# Tempo
dt = 0.002
Nt = 1500

time_interval = np.arange(0, Nt*dt, dt)


#%% Discretização do espaço x-y

x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX-1)  
y = np.linspace(L_y0, L_yf, NY-1)
X, Y = np.meshgrid(x, y) 

#%% Condições iniciais, em distribuição gaussiana

sigma = 1.0
sigma_v = 1.0

h_2d = 6 * np.ones(shape=np.shape(X)) + np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma**2))))
u_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))
v_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))

b = np.ones(shape=np.shape(X))  # Fundo da superficie constante

h_2d -= b  # diminui a altura da superficie

#%% Vetores das variáveis anteriores e historico das variaveis

h_ant = np.copy(h_2d)
v_ant = np.copy(v_2d)
u_ant = np.copy(u_2d)

# Inicilização das listas para armazenar os valores

hist_h, hist_u, hist_v = [], [], []

Função para resolução das equações diferenciais com FTCS.

# Fator de multiplicacao 
mx = (dt / (2*(dx)))
my = (dt / (2*(dy)))

def resolve_pdes(h, vx, vy):

    """
    Função que retorna os valores de profunidade, velocidade em x e em y 
    no próximo tempo
    
    Parametros
    -----------
    h : array
                  profundidade no tempo t 
    vx : aray
        velocidade em x no tempo t
      
    vy : array
        velocidade em y no tempo t
    
    Retorna
    -----------
    prox_h : array
                  profundidade no tempo t + dt
    prox_u : array
        velocidade em x no tempo t + dt
      
    prox_v : array
        velocidade em y no tempo t + dt
    
    """

    # Inicializa os vetores para armazenarem os resultados calculados
    prox_h = np.ones(shape = (np.shape(h)), dtype = np.float64)
    prox_u = np.ones(shape = (np.shape(vx)), dtype = np.float64)
    prox_v = np.ones(shape = (np.shape(vy)), dtype = np.float64)
    
    
    # Loop nos pontos discretizados 
    
    for i in range(1, NX - 1):
        for j in range(1, NY - 1):
            
        
            # Alturas e velocidades conforme a posicao do ponto:
            # _l : ponto a esquerda, _r: ponto a direita, _up: ponto acima, _d: abaixo
        
            # Condicao a esquerda ------------------
            if i == 1:  # primeiro x interno
                        
                h_l = h[i, j]
                u_l = -vx[i, j]
                v_l = vy[i, j]
        
            else:
                h_l = h[i-1, j]
                u_l = vx[i-1, j]
                v_l = vy[i-1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao a direita -------------------
            if i == NX - 2:  # ultimo x interno

                h_r = h[i, j]
                u_r = -vx[i, j]
                v_r = vy[i, j]
            
            else:
                h_r = h[i+1, j]
                u_r = vx[i+1, j]
                v_r = vy[i+1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao abaixo  ----------------------
            if j == 1:  # primeiro y interno 
                h_d = h[i, j]
                u_d = vx[i, j]
                v_d = - vy[i, j]
            
            else:
                h_d = h[i, j - 1]
                v_d = vy[i, j - 1]
                u_d = vx[i, j - 1]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao acima  ----------------------
            if j == NY - 2:  # utlimo y interno
            
            
                h_up = h[i, j]
                u_up = vx[i, j]
                v_up = - vy[i, j]
            
            else:
                
                h_up = h[i, j + 1]
                v_up = vy[i, j + 1]
                u_up = vx[i, j + 1]
            # --------------------------------------


            ## Primeira Equação
        
            h_ij = h[i, j] - \
                  (h_r  * u_r  - h_l  * u_l) * fator_x - \
                   (h_up * v_up - h_d  * v_d) * fator_y 
            
            prox_h[i, j] = h_ij
        
            # ## Segunda equação
        
            hu_ij = ((h[i, j]) * vx[i, j]) - \
                    mx * (
                        ((h_r  * (u_r ** 2))  + (1/2 * g * (h_r ** 2))) -\
                        ((h_l  * (u_l ** 2))  + (1/2 * g * (h_l ** 2)))
                    ) - \
                    my * (
                        (h_up * u_up * v_up ) - (h_d  * u_d  * v_d)
                    ) - \
                    mx * g * h[i, j] * (b[i, j+1]  - b[i, j-1]) 

            # # ## Terceira Equação
        
            hv_ij = (h[i, j] * vy[i, j]) - \
                    m_x * (
                        (h_r  * u_r * v_r) - (h_l  * u_l * v_l)
                    ) - \
                    my * (
                        ((h_up * (v_up ** 2)) + (1/2 * g * (h_up ** 2))) - \
                        ((h_d  * (v_d  ** 2)) + (1/2 * g * (h_d  ** 2)))
                    ) - \
                    my * g * h[i, j] * (b[i, j+1]  - b[i, j-1])     

            prox_v[i, j] = hv_ij / (h_ij)
        
    return prox_h, prox_u, prox_v

#%% Cálculo

# Resolve para cada passo de tempo

for t in time_interval:
    

    h, u, v = resolve_pdes(h_ant, u_ant, v_ant)  # valores das variaveis no tempo = t + dt
    
    # faz isso pq tava dando um erro estranho nesses pontos?
    h[0, :] = h[1, :]
    h[:, 0] = h[:, 1]
    
    v[0, :] = v[1, :]
    v[:, 0] = v[:, 1]
    
    u[0, :] = u[1, :]
    u[:, 0] = u[:, 1]
    
    # adicionar essas variáveis em listas pra conseguir plotar dps 
    hist_h.append(h); hist_u.append(u); hist_v.append(v)
    
      
    # Coloca as variaveis atuais como anteriores pro proximo calculo
    h_ant = np.copy(h)
    u_ant = np.copy(u)
    v_ant = np.copy(v)

#%% Gráfico

# Reorganiza os vetores para plotar

x_2d = X[0]
y_2d = Y[0]

for i in range(1,len(X)):
    
    x_2d = np.append(x_2d, X[i])
    y_2d = np.append(y_2d, Y[i])

def animate(i):
    plt.clf()  # limpa a figura, pra nao ficar sobrepondo figs

    # titulos
    plt.suptitle('Evolução da onda', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: {round(dt*i, 3)}', fontsize=12)
    
    # labels
    plt.ylabel('y', fontsize=8)
    plt.xlabel('x', fontsize=8)
    
    # plot
    graph = plt.scatter(x_2d, y_2d, c= hist_h[0::8][i], vmin=4.5, vmax=5.5, marker='.')
    
    plt.colorbar()
    plt.savefig(f'caminho-frames/{i}.png')
    

    return graph
    

# fig = plt.figure(figsize=(16,9))
# ax = fig.gca(projection='3d')

fig, ax = plt.subplots()
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames = len(hist_h[0::8]), repeat=False, interval=0.1)

#%% Salva o gif, com os frames salvos anteriormente
images = []
for i in range(len(hist_h[0::80])):
    images.append(imageio.imread(f'caminho-frames/{i}.png'))
imageio.mimsave("gif2.gif", images,fps=8)

Resultados

Exemplo 1. Onda confinada em uma caixa com profundidade constante: utilizando que a superfície é constante e que tanto a velocidade quanto altura da onda são inicialmente funções gaussianas centradas no espaço, obtemos a evolução no espaço que pode ser vista no GIF abaixo.

Evolução da amplitude da onda em uma caixa. Forma conservativa

Exemplo 2. Onda confinada em uma caixa com profundidade variável: utilizando a função $s=tanh(x)$ é possível simular uma onda chegando em uma praia, esse exemplo foi feito em 1D conservativo e pode ser visto abaixo.

Para realizar o código a partir do 2D conservativo mostrado acima, basta desconsiderar as derivadas em $x$ e inicializar os vetores da altura e velocidade com a discretização em apenas uma dimensão, abaixo descrita. Deve-se notar que o problema passa a ter um índice, pois a discretização não forma mais uma malha, então pode ser retirado um laço for do código.

#%% Discretização do espaço x
x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX)
  
#%% Condições iniciais da superficie e da agua

# Superficie
b = 5 * np.tanh((x- L_xf*0.3) / 2)  # funcao tangente
b += np.full(shape=(np.shape(b)), fill_value=-np.min(b))  # aqui é somado só para a funcao comecar em zero


# Onda e velocidade
sigma = 1.0   # distribuicao da onda
sigma_v = 1.0  # distribuicao da onda

h_2d = 1.1 * max(b) * np.ones(shape=np.shape(x)) + np.exp(-((x)**2/(2*(sigma**2)))) 
h_2d -= b
 
u_2d =  0.08 * np.exp(-((x)**2/(2*(sigma_v**2))))

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável. Forma conservativa

Forma dissipativa 2D

Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de $\eta$ , $M$ , $N$ , onde as funções em python atualiza_eta, atualiza_M, e atualiza_N implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência ^[9] foi usado como base.

def atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):
            
            dMdx = (M[j+1,i] - M[j-1,i]) / (2. * dx)
            dNdy = (N[j,i+1] - N[j,i-1]) / (2. * dy)
            eta[j, i] = eta[j, i] - dt * (dMdx + dNdy)
    
    #Condições de contorno do problema
    eta[0,:] = eta[1,:]
    eta[-1,:] = eta[-2,:]
    eta[:,0] = eta[:,1]
    eta[:,-1] = eta[:,-2]
    
    return eta

def atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    M2 = M **2 / D
    MN = M * N / D
    fric = g * n**2 * M * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dM2dx = (M2[j+1,i] - M2[j-1,i]) / (2. * dx)
            dMNdy = (MN[j,i+1] - MN[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdx = (eta[j+1,i] - eta[j-1,i]) / (2. * dx)
            
            M[j, i] = M[j, i] - dt * (dM2dx + dMNdy + g * D[j,i] * dETAdx + fric[j,i])
            
    return M

def atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    
    MN = M * N / D
    N2 = N**2 / D
    fric = g * n**2 * N * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dMNdx = (MN[j+1,i] - MN[j-1,i]) / (2. * dx)
            dN2dy = (N2[j,i+1] - N2[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdy = (eta[j,i+1] - eta[j,i-1]) / (2. * dy)
            
            N[j, i] = N[j, i] - dt * (dMNdx + dN2dy + g * D[j,i] * dETAdy + fric[j,i])
                        
    return N

A função shallow water waves recebe os parâmetros iniciais do nosso programa, executa o Loop responsável pela atualização das variáveis da amplitude da onda e do fluxo de descarga com o tempo, através da chamada das funções atualiza M,N e eta. Posteriormente, a cada 10 passagens dentro do loop um plot do sistema é feito.

def shallow_water(eta0, M0, N0, h, g, n, nt, dx, dy, dt, X, Y):
    
    
    # Copia o campos de amplitude da onda, e os fluxos de descarga  
    eta = eta0.copy()
    M = M0.copy()
    N = N0.copy()
    
    D = eta + h
    
    # Retorna o número de pontos na direção x e y para eta
    ny, nx = eta.shape
    
    # Dividi o espaço Lx e Ly definindo os pontos nas direções x e y
    x = np.linspace(0, nx*dx, num=nx)
    y = np.linspace(0, ny*dy, num=ny)
    
    limites = [np.min(x), np.max(x), np.min(y), np.max(y)]
    
    # PLOT
    plt.clf()
    
    
    fig = plt.figure(figsize=(10.,6.))
    plt.tight_layout()
    
    plt.suptitle('Evolução da onda - forma disspitava - n = 20.0', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: 0 s', fontsize=10)
    
    # plot profundidade
    fundo = plt.imshow(-h, cmap ='Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
    amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= .75, vmin=-1.0, vmax= 1.0)
    
    plt.xlabel('x [m]')
    plt.ylabel('y [m]')
    cbar_amp = plt.colorbar(amp)
    cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
    cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
    cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')
    
    plt.show()
    plt.close()
    
    conta = 0
    
    # Loop over timesteps
    for k in range(1,nt):
        

        eta = atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny)
        M = atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)
        N = atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)

        D = eta + h
        
        conta = conta + 1
        
        if(conta == 10):
            
            plt.clf()
            fig = plt.figure(figsize=(10.,6.))

            # titulos
            plt.suptitle('Evolução da onda - forma disspitava - n = 20.0', fontsize=14)
            plt.title(f'Tempo: {round(dt*k, 3)} s', fontsize=10)

            fundo = plt.imshow(-h, 'Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
            amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= 0.75, vmin=-1.0, vmax= 1.0)
    
            plt.xlabel('x [m]')
            plt.ylabel('y [m]')
            cbar_amp = plt.colorbar(amp)
            cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
            cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
            cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')
    
            conta = 0
            plt.show()
            plt.close()
                
    return eta, M, N

Exemplo 1 - Onda Confinada em uma Caixa

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de $L_{x}=100$ e $L_{y}=100$ em profundidade $h$ constante. O deslocamento do volume de água inicial é representado pela equação da Gaussiana. As condições de contorno deste problema são dadas de forma as paredes refletirem a massa do fluído.

# Define a região espacial
Lx = 100.0   
Ly = 100.0   

#define o número de pontos na direção x e y
px = 101     
py = 101     

#define o espaçamento entre os pontos mais próximos
dx = Lx / (px - 1)  
dy = Ly / (py - 1)  

# Localiza o número de pontos ao longo das direções x e y
x = np.linspace(0.0, Lx, num=px)
y = np.linspace(0.0, Ly, num=py)

# Plano de pontos do oceano definidos
X, Y = np.meshgrid(x,y) 

#profundidade do oceano h = 50 m
h = 50 * np.ones_like(X)

# Condição inicial da onda gerado pelo sísmo 
eta0 = 2. * np.exp(-((X-50)**2/10)-((Y-50)**2/10))

# Condição inicial dos fluxos de descarga
M0 = 0. * eta0
N0 = 100. * eta0

# constante da gravidade e de fricção
g = 9.81  
n = 20.0

Tmax = 5.
dt = 0.01
nt = (int)(Tmax/dt)

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 0.25. Forma dissipativa.
Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 20. Forma dissipativa.

Exemplo 2.1 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.010, equação na forma dissipativa
Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.025, equação na forma dissipativa

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.065, equação na forma dissipativa
Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=20, equação na forma dissipativa

Exemplo 2.2 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de $L_{x}=1000$ $m$ e $L_{y}=1000$ $m$ em profundidade $h=50-45*tanh((x-500)/8)$ constante. O deslocamento do volume de água inicial é representado pela equação da Gaussiana. As condições de contorno deste problema são dadas de forma que as paredes refletem a massa do fluído.

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.010, equação na forma dissipativa.
Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.010, equação na forma dissipativa.

Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.010, equação na forma dissipativa.
Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável, coeficiente de Manning n=0.010, equação na forma dissipativa.

Podemos observar que a medida que o fundo do oceano diminui sua profundidade a velocidade da onda também diminui, consequentemente a amplitude da onda aumenta. É observado também que para maiores comprimentos de onda da gaussiana, maior será a amplitude da onda ao chegar na praia.

Comparação entre Métodos

Onda confinada em uma caixa

Abaixo é mostrado o gráfico de evolução temporal da altura da onda em três pontos distintos do sistema (utilizando os mesmos parâmetros que foi aplicado ao método conservativo com a onda em uma caixa de profundidade constante em todos os outros métodos). Pode-se perceber que com o passar do tempo o movimento das duas equações começa a divergir, mesmo com o fator de fricção baixo.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo

Para o método 1D é de se esperar que exista menos interferências entre as ondas, pois só existe parede nos finais do sistema, além disso, a onda só precisa se espalhar em uma direção, então a sua amplitude é maior.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 2D e conservativo 1D

Também é possível perceber a diferença entre métodos observando apenas em uma direção ( ${\vec {x}}$ ), por causa dos termos de fricção e viscosidade.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 1D

Referências

↑ HOW EARTHQUAKES TRIGGER TSUNAMIS-BBC. British Broadcasting Corporation. Disponível em: https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html
↑ SEGUR, Harvey; YAMAMOTO, Hiroki. Lecture 8: The Shallow-Water Equations.Disponível em: <https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html>
↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
↑ IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf
↑ http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf
↑ LINSLEY, Ray K.; FRANZINI, Joseph B. Water Resources Engineering.
↑ GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf>
↑ KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf>
↑ KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb>

[1] HOW EARTHQUAKES TRIGGER TSUNAMIS-BBC. British Broadcasting Corporation. Disponível em: https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html

[2] SEGUR, Harvey; YAMAMOTO, Hiroki. Lecture 8: The Shallow-Water Equations.Disponível em: <https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html>

[Hopf-3] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

[4] IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf

[5] ttp://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf

[6] LINSLEY, Ray K.; FRANZINI, Joseph B. Water Resources Engineering.

[7] GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf>

[8] KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf>

[9] KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb>

[1]

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[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Equação de Águas Rasas

Índice

Introdução

Formação de um Tsunami

Descrição Física

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Forma Conservativa

Forma não Conservativa

Simulações Computacionais de Tsunamis

Solução em 1D

Forma conservativa 2D

Código

Resultados

Forma dissipativa 2D

Exemplo 1 - Onda Confinada em uma Caixa

Exemplo 2.1 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Exemplo 2.2 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Comparação entre Métodos

Onda confinada em uma caixa

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Formação de um Tsunami

Descrição Física

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Derivação das Equações de Águas Rasas

Forma Conservativa

Forma não Conservativa

Simulações Computacionais de Tsunamis

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Exemplo 2.1 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Exemplo 2.2 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

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