DM de potenciais descontínuos

Dinâmica molecular de potenciais descontínuos é uma abordagem computacional utilizada para determinar o movimento de partículas duras que só interagem por forças de contato. Assim, fica evidente a diferença entre o potencial Lennard-Jones pois este se baseia em uma interação de curto alcance, como é mostrado em DM: um primeiro programa. Para entender como as colisões ocorrem, conhecer a forma do potencial a ser estudado é vital. Como estamos considerando corpos rígidos, ou seja, que não sofrem deformação, percebe-se que a força de contato entre as partículas será infinita e o tempo de interação zero, o que torna impossível a descrição do problema a partir de uma integração de movimento simples. O método utilizado, a ser explicitado aqui, que resolve este problema é o evento dirigido.

Evento dirigido

A ideia do método para resolver o problema do força infinita é, ao invés de avançar o sistema em pequenos passos de tempo $dt$, avançar a simulação conforme as colisões forem ocorrendo. Para isso deve-se encontrar o par de partículas $i,j$ que colidirá no menor intervalo de tempo entre todas as partículas, denotaremos tal intervalo por $d{t}_{min}$, e, então, avançar o sistema. Neste ponto teremos dois objetos colados, portanto aqui deve ser feita a mudança de velocidades de tal forma a respeitar uma colisão elástica.

Fluxograma de um programa simples usando o método de evento dirigido com a otimização aqui explicitada.

Determinação do tempo de colisão

Os objetos a serem usados para o cálculo do tempo de colisão entre um par de partículas $i,j$ serão discos de raio ${\sigma }_i$, ${\sigma }_j$, de distância denotada por $\sigma$. Portanto, segue que a condição de colisão é:

$|\overrightarrow{r_i}(t+d{t}_{ij})-\overrightarrow{r_j}(t+d{t}_{ij})|=\sigma$

Com $r_i$ sendo o vetor posição da partícula $i$ e $d{t}_{ij}$ o tempo de colisão entre as partículas $i,j$. Tal condição nos leva a determinação de $d{t}_{ij}$ a partir da expressão:

$d{t}_{ij}=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& \text{se }d<0\\ \mathrm{\infty }& \text{se }\mathrm{\Delta }r.\mathrm{\Delta }v>0\\ -\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}+\sqrt{d}}{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}& \text{nos demais casos}\end{array}$

Onde $d\equiv (\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}{)}^2-(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v})(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}-{\sigma }^2)$, $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_j}$ e $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{v_j}$.
Com isso, consegue-se determinar o valor de $d{t}_{min}$ encontrando o menor valor de $d{t}_{ij}$.

Mudança de velocidade em uma colisão elástica

Para fazer a mudança de velocidades temos que considerar o caso de colisão elástica entre as partículas $i,j$, sendo impulso dado por:

$\overrightarrow{J}=\frac{2m_i{m}_j(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v})}{{\sigma }^2(m_i+m_j)}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$.

Assim, a variação de velocidades pode ser determinada por:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v_i}=-\frac{\overrightarrow{J}}{m_i}$ e $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v_j}=\frac{\overrightarrow{J}}{m_j}$.

Otimização básica

Dado uma simulação de $N$ partículas, determinar o valor de $d{t}_{min}$ é da ordem de $N^2$, ou seja, evitar fazer esse processo todo passo de tempo economiza grande parte do tempo computacional. Uma forma simples de fazer isso é determinar e armazenar o menor $d{t}_{ij}$ para cada partícula $i$ e o índice $j$ antes do loop temporal e a cada passo de tempo determinar o valor de $d{t}_{min}$ a partir dos $d{t}_{ij}$ armazenados. Assim, a cada passo de tempo seria necessário apenas atualizar o valor de $d{t}_{ij}$ das partículas $i,j$ e das que colidiriam com $i$ ou $j$.