Equação de Burgers

Grupo: Eduardo Pedroso, Luis Gustavo Lang Gaiato, William...

Um dos maiores desafios no campo dos sistemas complexos é a compreensão do fenômeno de turbulência. Simulações computacionais contribuíram bastante para o entendimento dessa área, no entanto, ainda não existe nenhuma teoria que explique com sucesso esse comportamento e permita prever outros importantes fenômenos como misturas, convecção e combustão turbulentas, com base nas equações fundamentais da dinâmica de fluidos. Isso se deve ao fato de que a equação para os fluidos mais simples (incompressíveis) já deve levar em consideração propriedades não lineares . Da equação de Navier–Stokes:

${\frac {\partial }{\partial t}}v(x,t)+\nabla \cdot v(x,t)=-\nabla p(x,t)+\nu \Delta v(x,t)$

$\nabla \cdot v(x,t)=0$

Devido à incompressibilidade, a pressão $p$ é definida pela equação de Poisson:

$\Delta p(x,t)=-\nabla \cdot v(x,t)\cdot \nabla v(x,t))$

Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde $u$ corresponde ao campo de velocidades e $\nu$ ao coeficiente de difusão:

${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)+u(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}u(x,t)=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)$

A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a transformação de Hopf-Cole, que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica .

Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.

Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces

Figura 1: Ilustração da estrutura de um fungo. .

Figura 2: Processos de ramificação de fungos. À esquerda a ramificação dicotômica (Dichotomous) e à direita o processo de ramificação lateral .

Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, equação de Kardar-Parisi-Zhang (equação KPZ), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo .

${\frac {\partial }{\partial t}}h(x,t)-{\frac {1}{2}}\left(\nabla h(x,t)\right)^{2}=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}h(x,t)+F(x,t)$

A equação é obtida a partir da equação de advecção simples para uma superfície $z=h(x,t)$ se movimentando com velocidade $U(x,t)$:

${\frac {\partial }{\partial t}}h(x,t)+U\cdot \nabla h(x,t)=0$

A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de $h(x,t)$ (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

A equação de Burgers é obtida a partir da equação KPZ, pelo gradiente de $h(x,t):$

$u(x,t)=-\nabla h(x,t)$