Clusterização

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Clusterização do Modelo de Ising

Balanço Detalhado

Para respeitarmos o Balanço Detalhado, precisamos que a mudança da rede de um estado $$\nu$ para um estado $\mu$ ocorra com a mesma probabilidade da mudança de um estado $\mu$ para $\nu$, denotamos essa mudança por: $A(\mu \to \nu )=A(\nu \to \mu )$, com $A(x\to y)$ sendo a razão de aceitação da mudança de um estado $x$ para um estado $y$.

Supondo que estamos mudando de um estado $\nu$ para outro estado $\mu$, temos que a diferença de energia entre esses dois é resultado da quebra das ligações entre pares de spins orientados na mesma direção que não foram adicionados ao cluster, já que, não há uma garantia que a ida de $\nu \to \mu$ quebre a mesma quantidade de ligações que a volta de $\mu \to \nu$. A probabilidade de não adicionarmos um spin vizinho ao cluster é dada por: $1-P_{add}$; uma vez que $P_{add}$ é a probabilidade de incluir esse spin no cluster.

Supondo que existam $m$ ligações a serem quebradas na ida de $\nu \to \mu$, a probabilidade desse evento é dada por $(1-P_{add}{)}^m$. Porém, o mesmo pode não valer para a volta de $\mu \to \nu$, em razão disso, precisamos analisar o caso em que não há o mesmo número de ligações a serem quebradas na volta e então a probabilidade será dada por $(1-P_{add}{)}^n$ com $n$ sendo o número de ligações a serem quebradas de $\mu \to \nu$.

Consideramos agora que $E_{\nu }$ e $E_{\mu }$ sejam as energias associadas aos estados $\nu$ e $\mu$, respectivamente, temos que: a cada $m$ ligações que são quebradas de $\mu \to \nu$ a energia aumenta com $+2J$ e para cada $n$ novas ligações geradas de $\mu \to \nu$ a energia diminui com $-2J$. Pode-se escrever então que a diferença de energia entre $\mu$ e $\nu$ é dada por: $E_{\nu }-E_{\mu }=2mJ-2nJ=2J(m-n)$

Seguindo a definição do Balanço Detalhado e impondo que o Processo Markoviano dessas mudanças de estados descritas acima respeite a Distribuição de Boltzmann, precisamos que: $\frac{(1-P_{add}{)}^{m}A(\mu \to \nu )}{(1-P_{add}{)}^{n}A(\nu \to \mu )}=e^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}=(1-P_{add}{)}^{m-n}\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}$, tal que, $\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=[e^{2\beta J}(1-P_{add}){]}^{n-m}⟹P_{add}=1-e^{-2\beta J}⟹\frac{(1-P_{add}{)}^{m}A(\mu \to \nu )}{(1-P_{add}{)}^{n}A(\nu \to \mu )}=1$