Medidas estáticas

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas que

Psi 6

Teoria

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o padrão hexagonal. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de ${\frac {\pi }{3}}$. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de $\psi _{6}=1$, é possível definir que o $\psi _{6}$ vale:

$\psi _{6}={\frac {1}{6}}\sum _{i}^{n}cos(6\theta _{i})$

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e $\theta =60$ resulte em um valor de $\psi _{6}=1$.

Implementação Computacional

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de $\Psi _{6}$

Encontrando vizinhos

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete. Se o leitor tiver interesse, entretanto, são recomendados as seguintes referências:

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em $N^{2}$, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as 6 partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de $\psi _{6}$), desta forma o valor de $\psi _{6}$ resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os 6 vizinhos são de fato os primeiros vizinhos e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Define-se dois vetores chamados neighborsX,neighborsY e dNeighbors, que guardarão as posições X,Y e a distância do i-ésimo vizinho. Então os valores iniciais destes vetores recebem valores altos em relação as medidas da caixa (neste exemplo utilizou-se 20 para os dois lados), da seguinte forma:

int i;
double neighborsX[6],neighborsY[6];
for(i=0;i<6;i++){
	neighborsX[i]=999;
	neighborsY[i]=999;
        dNeighbors[i]=999;
}

Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em $N^{2}$ guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula teste:

for(i=0;i<NP;i++){             
		xOrg=xx[i];
		yOrg=yy[i];
		for(j=0;j<6;j++){
			dNeighbors[j]=999.;
		}
		for(j=0;j<NP;j++){
			x2=xx[j];
			y2=yy[j];

			if(i!=j){

			if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit)
			{	
				dNew=distance(x2,y2,xOrg,yOrg);
				dOld=0;
				for(k=0;k<6;k++){
					if(dNeighbors[k]>dOld){
						dOld=dNeighbors[k];
						index=k;
					}
				}
				if(dNew<dOld){
				neighborsX[index]=x2;
				neighborsY[index]=y2;
				dNeighbors[index]=dNew;
				}
			}		
        		}
		}

Pair Distribution Function

Representação do cálculo numérico de $g(r)$;

A Pair Distribution Function , ou "$g(r)$", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância $r$ dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de $N$ partículas, o $g(r)$ é definido como a média do número de partículas a uma distância $r$:

$g(r)={\frac {V}{N^{2}}}\langle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j\neq i}^{N}\delta (r-|r_{i}-r_{j}|)\rangle$

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre $r$ e $r+\Delta r$ pesado pelo volume/área desta região.

$g(r,\Delta r)={\frac {V_{t}}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\neq i}^{N}\left[{\frac {rect\left({\frac {r-|r_{i}-r_{j}|}{\Delta r}}\right)}{V\left(r+{\frac {\Delta r}{2}}\right)-V\left(r-{\frac {\Delta r}{2}}\right)}}\right]$

Onde $V_{t}$ é o/a volume/área total e $rect$ é a função retangular.

Em resumo, o $g(r,\Delta r)$ é a média dos histogramas do número de partículas em um bin de largura $\Delta r$ a uma $r$ feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste bin.

Resultados

Referências

• Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press.