Modelo de Bornholdt para simulação de mercados financeiros artificiais

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

OBJETIVO

Modelo de Bornholdt

Para estudar os fenômenos físicos que nos rodeiam, usamos modelos matemáticos para entender como sistemas evoluem com o tempo. No entanto, esses modelos muitas vezes podem ser base para estudos além do sistema físico de interesse. Para um sistema de spins, um dos modelos mais simples, que leva em conta apenas a interação de cada spin com seus primeiros vizinhos, é o Modelo de Ising. O hamiltoniano que o descreve é defindo pela segunte expressão:

${\mathcal {H}}=\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}$

onde $J_{ij}$ é o termo que define a força de interação entre os spins i e j e $S^{z}$ a componente Z do spin. Além disso $\langle i,j\rangle$ denota que estamos somando somente sobre os primeiros vizinhos. Para um valor de $J_{ij}>0$, a interação ferromagnética é favorecida, e os spins vizinhos tendem a se alinhar conjuntamente, formando domínios magnéticos. No entanto, para $J_{ij}<0$ a interação antiferromagnética é favorecida, e os spins tende a se "anti-alinhar".

Podemos fazer um paralelo interessante entre os spins e a sua interação com seus vizinhos com traders em mercados finaceiros e a suas interações com outros traders. No caso do Modelo de Ising, podemos interpretar cada spin como um trader, ou agente, em um mercado financeiro e a direção da componente Z desse spin como a sua estratégia de compra ou venda. Então neste caso mais simples, para $J_{ij}>0$, os agentes tenderão a adotar a mesma estratégia de mercado, e isso não descreve bem a realidade dos mercados.

O Modelo de Bornholdt, se incluid {coisas do artigo}. Assim, o hamiltoniano do sistema fica complementado:

${\mathcal {H}}=\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}\alpha C_{i}(t){\frac {1}{N}}\sum _{j}S_{j}(t)$

onde $\alpha$ é o termo de acomplamento do spin com a rede toda $(\alpha >0)$

Alguns conceitos importantes

Retornos

Quando se trata de sistemas financeiros, os estudos se concentram mais no retorno dos ativos do que no preço em si, pois a série temporal dos retornos tem propriedades estatísticas mais interessantes que a série dos preços.

Sendo P(t) o preço de um ativo financeiro no instante t, e P(t-1) o preço do ativo no instante (t-1), o retorno linear do ativo é:

$r(t)={\frac {P(t)-P(t-1)}{P(t-1)}}$

Reescrevendo esta equação, obtemos que:

$r(t)+1={\frac {P(t)}{P(t-1)}}$

Aplicando a função logarítmica em ambos os lados da equação, e considerando que:

$ln(x+1)\approx x$

obtêm-se o retorno logarítmico, que é mais indicado quando se têm ativos voláteis, que possuem uma variação muito alta:

$r(t)=ln\left({\frac {P(t)}{P(t-1)}}\right)$

Considerando que neste estudo serão comparados retornos de diferentes índices, e também os retornos obtidos através das simulações com o modelo de Bornholdt, é importante normalizar os retornos:

${\bar {r}}_{n}={\frac {r_{n}-\langle r\rangle }{\sigma _{r}}}$

em que $\sigma _{r}$ é o desvio padrão da serie de retornos e $\langle r\rangle$ a média.

Distribuição dos Retornos

Quando se tem um volume considerável de dados é possível obter a distribuição probabilística deles. Para isso pode-se utilizar a estimação de densidade de Kernel (KDE). Ao observar uma pequena janela de tamanho h em torno de um ponto em análise, pode-se dizer que:

$P(x-h\leq x\leq x+h)\approx {\frac {1}{N}}\sum _{n}^{N}W(u)$

sendo $W(u)$ uma função kernel e $u$ uma variável tal que:

$u={\frac {x-x_{n}}{2h}}$

Para este estudo utilizou-se um kernel gaussiano:

$W(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$

Este método foi aplicado para as séries de retorno para obter a distribuição deles, utilizando $h=0.5\sigma$.

Volatilidade

Exemplo de uso da volatilidade como série temporal de um retorno arbitrário.

Uma forma de calcular a volatilidade da série temporal de retornos ao longo do tempo é elevar ao quadrado os valores da série. Deste modo pode-se obter uma variável como a que está ilustrada na figura ao lado.

O interessante em estudar volatilidade de retornos financeiros é que essa variável reflete o quão imprevisível é um determinado ativo. Uma ação com alta volatilidade tende a ter um risco maior de investimento, ao passo que ações com baixa volatilidade geralmente retornam riscos menores, pois seu comportamento acaba sendo mais previsível.

Um fato estilizado financeiro é que a volatilidade das séries temporais de retorno apresentam comportamento sazonal por natureza. Há períodos de alta volatilidade, seguidos por períodos com baixa volatilidade, que então são novamente seguidos por alta volatilidade, e assim adiante. E uma forma de mensurar isto é verificando a presença de clusters de autocorrelação na volatilidade de retornos. Isto é, através da análise da autocorrelação da volatilidade, encontrar bolhas que indiquem as fases destes comportamentos.

Para obter a auto correlação o Teorema de Wiener-Khinchin foi utilizado, de forma que:

$A(\tau )={\mathcal {F}}\{|S(\omega )|^{2}\}$

onde $S(\omega )$ é a transformada de Fourier do quadrado dos retornos.

Simulações

Variação do tamanho da grade

Um dos objetivos deste estudo é verificar qual o tamanho de grade gera um resultado que melhor simula um índice financeiro. Foram escolhidos 4 diferentes tamanhos de grade:

• 16x16: 256 agentes
• 32x32: 1024 agentes
• 50x50: 2500 agentes
• 100x100: 10000 agentes

Cada uma das simulações se deu sob as seguintes condições:

• $\alpha =4$
• $J=1$
• $T=1,5$
• Todos os agentes são racionais, ou seja, eles podem trocar de opinião ao longo da simulação, assumindo $C_{i}=-1$ em alguns momentos e $C_{i}=1$ em outros, de acordo com o grupo que o agente está inserido: maioria ou minoria.

Abaixo é possível observar fotografias do sistema em diferentes instantes para cada uma das simulações:

Situação do sistema de 256 agentes (grade 16 x 16) em 9 instantes diferentes.	Situação do sistema de 1024 agentes (grade 32 x 32) em 9 instantes diferentes.	Situação do sistema de 2500 agentes (grade 50 x 50) em 9 instantes diferentes.	Situação do sistema de 10000 agentes (grade 100 x 100) em 9 instantes diferentes.

Como saída da simulação é obtida uma série temporal dos valores de magnetização, que neste modelo significam o preço das ações. Para série de preços, foi obtido a série dos retornos logarítmicos normalizados, utilizando o que foi explicado na seção dos Retornos. Considerando que o modelo deve simular mercados financeiros, obteve-se as series temporais do preço de índices do mercado financeiro: Ibovespa, S&P 500, Dow Jones e NASDAQ. Esses dados foram obtidos com a biblioteca Pandas Datareader do Python, que permite obter dados de páginas da internet como a Yahoo Finance, que possui a série temporal dos preços de vários ativos financeiros. Assim como para a série de preços obtidas com as simulações, a partir da série de preços dos índices foram calculadas a série temporal dos retornos logarítmicos normalizados.

Na figura abaixo pode-se observar os retornos de cada simulação e índice financeiro:

Retornos logarítmicos normalizados obtidos para as simulações com diferentes números de agentes (tamanho da grade) na primeira coluna, e na segunda coluna os retornos logarítmicos normalizados para os índices financeiros Ibovespa, S&P 500, Dow Jones e NASDAQ

Alguns pontos interessantes a se observar:

• os retornos dos índices S&P 500, Dow Jones e NASDAQ são muito parecidos, isso de deve ao fato de que todos são índices de mercados dos Estados Unidos, enquanto o Ibovespa é um índice de mercado brasileiro;
• os retornos das simulações vão variando mais tempo perto do zero conforme o número de agentes cresce;

Para ter uma comparação melhor a fim de entender que tamanho de grade simula melhor um mercado financeiro, é importante ver a distribuição dos retornos e a auto correlação dos volatilidades deles.

Distribuição dos retornos das simulações (linha cheia) e dos índices financeiros (linha tracejada). Percebe-se que a distribuição dos retornos das simulações que mais se aproximam da distribuição dos índices financeiros são as que possuem um menor número de agentes.

Auto correlação das volatilidades dos retornos das simulações (primeira coluna) e do retorno dos índices financeiros (segunda coluna). Em ambas as colunas, a escala dos eixos y e x dos gráficos é logarítmica.

Variação da opinião dos agentes

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