Modelo de Bornholdt para simulação de mercados financeiros artificiais

Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

Modelo de Bornholdt

Para estudar os fenômenos físicos que nos rodeiam, usamos modelos matemáticos para entender como sistemas evoluem com o tempo. No entanto, esses modelos muitas vezes podem ser base para estudos além do sistema físico de interesse. Para um sistema de spins, um dos modelos mais simples, que leva em conta apenas a interação de cada spin com seus primeiros vizinhos, é o Modelo de Ising. O hamiltoniano que o descreve é defindo pela segunte expressão:

${\mathcal {H}}=\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}$

onde $J_{ij}$ é o termo que define a força de interação entre os spins i e j e $S^{z}$ a componente Z do spin. Além disso $\langle i,j\rangle$ denota que estamos somando somente sobre os primeiros vizinhos. Para um valor de $J_{ij}>0$, a interação ferromagnética é favorecida, e os spins vizinhos tendem a se alinhar conjuntamente, formando domínios magnéticos. No entanto, para $J_{ij}<0$ a interação antiferromagnética é favorecida, e os spins tende a se "anti-alinhar".

Podemos fazer um paralelo interessante entre os spins e a sua interação com seus vizinhos com traders em mercados finaceiros e a suas interações com outros traders. No caso do Modelo de Ising, podemos interpretar cada spin como um trader, ou agente, em um mercado financeiro e a direção da componente Z desse spin como a sua estratégia de compra ou venda. Então neste caso mais simples, para $J_{ij}>0$, os agentes tenderão a adotar a mesma estratégia de mercado, e isso não descreve bem a realidade dos mercados.

O Modelo de Bornholdt, se incluid {coisas do artigo}. Assim, o hamiltoniano do sistema fica complementado:

${\mathcal {H}}=\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}\alpha C_{i}(t){\frac {1}{N}}\sum _{j}S_{j}(t)$

onde $\alpha$ é o termo de acomplamento do spin com a rede toda $(\alpha >0)$

Alguns conceitos importantes

Retornos

Quando se trata de sistemas financeiros, os estudos se concentram mais no retorno dos ativos do que no preço em si, pois a série temporal dos retornos tem propriedades estatísticas mais interessantes que a série dos preços.

Sendo P(t) o preço de um ativo financeiro no instante t, e P(t-1) o preço do ativo no instante (t-1), o retorno linear do ativo é:

$r(t)={\frac {P(t)-P(t-1)}{P(t-1)}}$

Reescrevendo esta equação, obtemos que:

$r(t)+1={\frac {P(t)}{P(t-1)}}$

Aplicando a função logarítmica em ambos os lados da equação, e considerando que:

$ln(x+1)\approx x$

obtêm-se o retorno logarítmico, que é mais indicado quando se têm ativos voláteis, que possuem uma variação muito alta:

$r(t)=ln\left({\frac {P(t)}{P(t-1)}}\right)$

Considerando que neste estudo serão comparados retornos de diferentes índices, e também os retornos obtidos através das simulações com o modelo de Bornholdt, é importante normalizar os retornos:

${\bar {r}}_{n}={\frac {r_{n}-\langle r\rangle }{\sigma _{r}}}$

em que $\sigma _{r}$ é o desvio padrão da serie de retornos e $\langle r\rangle$ a média.

Distribuição dos Retornos

Quando se tem um volume considerável de dados é possível obter a distribuição probabilística deles. Para isso pode-se utilizar a estimação de densidade de Kernel (KDE). Ao observar uma pequena janela de tamanho h em torno de um ponto em análise, pode-se dizer que:

$P(x-h\leq x\leq x+h)\approx {\frac {1}{N}}\sum _{n}^{N}W(u)$

sendo $W(u)$ uma função kernel e $u$ uma variável tal que:

$u={\frac {x-x_{n}}{2h}}$

Para este estudo utilizou-se um kernel gaussiano:

$W(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$

Este método foi aplicado para as séries de retorno para obter a distribuição deles, utilizando $h=0.5\sigma$.

Volatilidade

Uma forma de calcular a volatilidade da série temporal de retornos ao longo do tempo é elevar ao quadrado os valores da série. Deste modo pode-se obter uma variável como a que está ilustrada na figura abaixo:

Exemplo de uso da volatilidade como série temporal de um retorno arbitrário.

O interessante em estudar volatilidade de retornos financeiros é que essa variável reflete o quão imprevisível é um determinado ativo. Uma ação com alta volatilidade tende a ter um risco maior de investimento, ao passo que ações com baixa volatilidade geralmente retornam riscos menores, pois seu comportamento acaba sendo mais previsível.

Um fato estilizado financeiro é que a volatilidade das séries temporais de retorno apresentam comportamento sazonal por natureza. Há períodos de alta volatilidade, seguidos por períodos com baixa volatilidade, que então são novamente seguidos por alta volatilidade, e assim adiante. E uma forma de mensurar isto é verificando a presença de clusters de autocorrelação na volatilidade de retornos. Isto é, através da análise da autocorrelação da volatilidade, encontrar bolhas que indiquem as fases destes comportamentos.

Para obter a auto correlação o Teorema de Wiener-Khinchin foi utilizado, de forma que:

$A(\tau )={\mathcal {F}}\{|S(\omega )|^{2}\}$

onde $S(\omega )$ é a transformada de Fourier do quadrado dos retornos.

Simulações

Variação do tamanho da grade

Em Julia, 8000 passos de MC 16x16: 0.512 s 32x32: 2.332 s 50x50: 10.674 s 100x100: 154.134 s

Retornos logarítmicos normalizados obtidos para as simulações com diferentes números de agentes (tamanho da grade) na primeira coluna, e na segunda coluna os retornos logarítmicos normalizados para os índices financeiros Ibovespa, S&P 500, Dow Jones e NASDAQ

Distribuição dos retornos das simulações (linha cheia) e dos índices financeiros (linha tracejada). Percebe-se que a distribuição dos retornos das simulações que mais se aproximam da distribuição dos índices financeiros são as que possuem um menor número de agentes.