Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s=\{s_1,s_2,..s_i,...s_N\}$, onde um spin $s_i$ pode assumir valores discretos $q\in \{0,1,2,...,Q-2,Q,Q-1\}$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_i$ e $s_j$ é dada pelo potencial

$V(s_i,s_j)=-J\delta (s_i,s_j)$

onde $\delta (s_i,s_j)$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_i=s_j$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}\delta (s_i,s_j)$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso $Q=2$ ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

${{\mathscr{H}}}_{ising}={{\mathscr{H}}}_{potts}+\sum _{⟨i,j⟩}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{⟨i,j⟩}[2\delta (s_i,s_j)-1]$

Nesse caso, a interação entre dois spins $s_i$ e $s_j$ assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

$V(s_i,s_j)=\{\begin{array}{l}-\frac{J}{2},\text{se }{s}_i=s_j\\ \frac{J}{2},\text{se }{s}_i\ne s_j\end{array}$

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é $N=L\times L$ com interações ferromagnéticas com $J=1$, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de $q$ para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

Algorítmo de Metrópolis

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema $\nu$ e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação $A(\mu \to \nu )$ de transitar de um estado antigo $\mu$ para o novo estado $\nu$. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins. Para o modelo de Potts, um spin é selecionado aleatoriamente e se sorteia um novo valor de $q$, que o algoritmo irá aceitar ou não.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por :

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=e^{-\frac{\mathrm{\Delta }E}{k_{B}T}},(3)$

onde $\mathrm{\Delta }E=E_{\nu }-E_{\mu }$ é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados $\mu$ e $\nu$ e que temos a relação de energias: $E_{\mu }<E_{\nu }$. Então, a maior das duas chances de aceitação é $A(\nu \to \mu )$, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que $(3)$ seja respeitada, iremos definir o valor de $A(\mu \to \nu )$ como $e^{-\frac{\mathrm{\Delta }E}{k_{B}T}}$. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

$A(\mu \to \nu )=\{\begin{array}{l}{e}^{-\frac{\mathrm{\Delta }E}{k_{B}T}},\text{se }\mathrm{\Delta }E>0\\ \\ 1,\text{caso contrario}.\end{array}$

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de $Q$ ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de $Q$ ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. Considerando um caso onde $Q=100$ e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média $100/4=25$ passos de Monte Carlo para sortear um spin com maior probabilidade de aceitação de transição, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.