Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "Modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s=s_1,s_2,..s_i,...s_N$, onde um spin $s_i$ pode assumir um valor inteiro e positivo $q\in 1,2,...,Q-1,Q$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_i$ e $s_j$ é dada pelo potencial $V(s_i,s_j)=-J\delta (s_i,s_j)$

onde $\delta (s_i,s_j)$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_i=s_j$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}\delta (s_i,s_j)$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para $Q=2$ ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

${{\mathscr{H}}}_{ising}={{\mathscr{H}}}_{potts}+\sum _{⟨i,j⟩}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{⟨i,j⟩}(2\delta (s_i,s_j)-1)$

nesse caso os spins $s_i$ e $s_j$ têm apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_i,s_j)-1=\{\begin{array}{l}1,\text{se }{s}_i=s_j\\ -1,\text{se }{s}_i\ne s_j\end{array}$

logo considerando como valores possíveis para os spins $\{s_i,s_j\}$ como $-1$ ou $1$ encontramos

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}{s}_i{s}_j$