Modelo de Lotka-Volterra amortecido

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Uma versão do modelo de Lotka-Volterra aprimorada inclui um termo de saturação na população de presas, isto é, um termo logístico (que inibe o aumento exponencial). Este modelo é chamado de modelo de Lotka-Volterra amortecido.

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dx}{dt}=x\left(a-\alpha y\right)-kx^{2}}
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dy}{dt}=y\left(-c+\gamma x\right)}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle k} é uma constante positiva. Agora temos três pontos de equilíbrio, novamente temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(0,0\right)} . Mas temos outro ponto quando apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=0} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-\alpha y-kx=a-kx=0\rightarrow x=\frac{a}{k}}

Então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\frac{a}{k},0\right)} ou seja um ponto de equilíbrio com apenas a sobrevivência da presa. E ainda temos também um ponto de coexistência entre ambas as espécies:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-\alpha y-kx=0} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -c+\gamma x=0}

Isolando então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} na segunda equação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=\frac{c}{\gamma}} e substituindo na primeira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-\alpha y-k\frac{c}{\gamma}=0} Então:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{a}{\alpha}-\frac{kc}{\alpha\gamma}=\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}}

Então nosso outro ponto de equilíbrio é dado porFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\frac{c}{\gamma},\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}\right)} . Infelizmente as equações não são separáveis como no caso anterior, portanto vamos analisar se a equação é semi-linear nas proximidades dos pontos de equilíbrio. Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(0,0\right)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\alpha xy-kx^{2}}{xa}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\alpha y-kx}{a}=0} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\gamma xy}{cy}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\gamma}{c}x=0}

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\frac{a}{k},0\right)} e fazendo a mudança de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u=x-\frac{a}{k}} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v=y} , temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(\left(u+\frac{a}{k}\right)a-k\left(u+\frac{a}{k}\right)^{2}\right)-\left(\alpha\left(u+\frac{a}{k}\right)v\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(ua+\frac{a^{2}}{k}-\left(u^{2}k+\frac{a^{2}}{k}+2ua\right)\right)-\left(\alpha uv+\frac{\alpha a}{k}v\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=-\left(ua+\frac{\alpha a}{k}v\right)-\left(\alpha uv+u^{2}k\right)}

E:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dv}{dt}=\left(-vc\right)+\left(\gamma v\left(u+\frac{a}{k}\right)\right)=v\left(\gamma\frac{a}{k}-c\right)+\left(\gamma vu\right)}

Então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha uv+u^{2}k}{ua+\frac{\alpha a}{k}v}\right)=\lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha uv+u^{2}k}{u\left(a+\frac{\alpha a}{k}\frac{v}{u}\right)}\right)=\lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha v+uk}{\left(a+\frac{\alpha a}{k}\frac{v}{u}\right)}\right)}

Podemos fazer uma substituição de variável novamente usando coordenadas polares Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle r^{2}=u^{2}+v^{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u=r\cos\theta} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v=r\sin\theta} , então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{r\rightarrow0}\left(\frac{\alpha r\sin\theta+kr\cos\theta}{\left(a+\frac{\alpha a}{k}\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}\right)}\right)=\lim_{r\rightarrow0}\left(\frac{\alpha kr\sin\theta+k^{2}r\cos\theta}{\left(ka+\alpha a\tan\theta\right)}\right)=0}

E o limite:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{\gamma vu}{v\left(\gamma\frac{a}{k}-c\right)}=\lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{\gamma u}{\left(\gamma\frac{a}{k}-c\right)}=0}

E por fim, vamos estudar os pontos de estabilidade em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\frac{c}{\gamma},\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}\right)} , tendo agora Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u=x-\frac{c}{\gamma}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v=\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}-y} , então, manipulando novamente, primeiro trabalhando com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dt}=\left(xa-kx^{2}\right)-\left(\alpha xy\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(\left(\frac{c}{\gamma}+u\right)a-k\left(\frac{c}{\gamma}+u\right)^{2}\right)-\left(\alpha\left(\frac{c}{\gamma}+u\right)\left(v+\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}\right)\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(\frac{ca}{\gamma}+au-\frac{kc^{2}}{\gamma^{2}}-ku^{2}-\frac{2ck}{\gamma}u\right)-\left(\frac{c\alpha}{\gamma}v+\frac{\gamma ac-kc^{2}}{\gamma^{2}}+\alpha uv+\left[\frac{\gamma a-kc}{\gamma}\right]u\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(\left(\frac{ca}{\gamma}-\frac{kc^{2}}{\gamma^{2}}-\frac{\gamma ac-kc^{2}}{\gamma^{2}}\right)+\left(a-\frac{2ck}{\gamma}-\left[\frac{\gamma a-kc}{\gamma}\right]-ku\right)u-\frac{c\alpha}{\gamma}v\right)-\left(\alpha uv\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(\left(-\frac{kc}{\gamma}-ku\right)u-\frac{c\alpha}{\gamma}v\right)-\left(\alpha uv\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=-\left(\frac{kc}{\gamma}u+\frac{c\alpha}{\gamma}v\right)-\left(\alpha uv+ku^{2}\right)}

E com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{y}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=\left(-yc\right)+\left(\gamma yx\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dv}{dt}=\left(-\left(v+\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}\right)c\right)+\left(\gamma\left(v+\frac{\gamma a-kc}{\alpha\gamma}\right)\left(\frac{c}{\gamma}+u\right)\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dv}{dt}=\left(-vc-\frac{ac}{\alpha}+\frac{kc^{2}}{\alpha\gamma}\right)+\left(vc+\frac{\gamma ac-kc^{2}}{\alpha\gamma}+\gamma uv+\left[\frac{\gamma a-kc}{\alpha}\right]u\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dv}{dt}=\gamma uv+\left[\frac{\gamma a-kc}{\alpha}\right]u}

Calculando então os limites, relacionado a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha uv+ku^{2}}{\frac{kc}{\gamma}u+\frac{c\alpha}{\gamma}v}\right)=\lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha uv+ku^{2}}{u\left(\frac{kc}{\gamma}+\frac{c\alpha}{\gamma}\frac{v}{u}\right)}\right)=\lim_{\left(u,v\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left(\frac{\alpha v+ku}{\frac{kc}{\gamma}+\frac{c\alpha}{\gamma}\frac{v}{u}}\right)}

E novamente fazendo a substituição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle r^{2}=u^{2}+v^{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u=r\cos\theta} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v=r\sin\theta} , então:

$$\lim _{r\rightarrow 0}\left({\frac {\alpha r\sin \theta +kr\cos \theta }{{\frac {kc}{\gamma }}+{\frac {c\alpha }{\gamma }}{\frac {r\sin \theta }{r\cos \theta }}}}\right)=\lim _{r\rightarrow 0}\left({\frac {r\alpha \gamma \sin \theta +rk\gamma \cos \theta }{kc+c\alpha \tan \theta }}\right)=0$$

E a $v$:

$$\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\gamma uv}{\left[{\frac {\gamma a-kc}{\alpha }}\right]u}}=\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\gamma v}{\left[{\frac {\gamma a-kc}{\alpha }}\right]}}=0$$

Então os três pontos são semi-lineares. A partir disto, podemos analisar os tipos de estabilidades. Para ${\textstyle \left(0,0\right)}$:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$$

Então:

$$\left(a-\lambda \right)\left(c+\lambda \right)=0$$

Novamente temos duas raízes reais de sinais opostos, então temos um ponto de sela, uma instabilidade. Para o segundo ponto:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-a&-{\frac {\alpha a}{k}}\\0&\gamma {\frac {a}{k}}-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

Então:

$$\left(-a-\lambda \right)\left(\left({\frac {\gamma a}{k}}-c\right)-\lambda \right)=0$$

$$\left(a+\lambda \right)\left(\left({\frac {\gamma a}{k}}-c\right)-\lambda \right)=0$$

Temos duas raízes reais uma é negativa ${\textstyle \lambda _{1}=-a}$. Porém a classificação do ponto depende dos parâmetros escolhidos. Se ${\textstyle \left({\frac {\gamma a}{k}}-c\right)>0}$ ou seja ${\textstyle \gamma a>ck}$, temos uma instabilidade, uma sela, mas se ${\textstyle \gamma a<ck}$, então temos um nó hiperbólico, ou seja, estabilidade. E por último:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-{\frac {kc}{\gamma }}&-{\frac {c\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\gamma a-kc}{\alpha }}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

Então:

$$\left({\frac {kc}{\gamma }}+\lambda \right)\lambda +{\frac {c\alpha }{\gamma }}\left({\frac {\gamma a-kc}{\alpha }}\right)=0$$

$$\gamma \lambda ^{2}+kc\lambda +c\left(\gamma a-kc\right)=0$$

Então:

$$\lambda =-\left({\frac {kc}{2\gamma }}\right)\pm {\frac {\sqrt {\left(kc\right)^{2}-4\gamma c\left(\gamma a-kc\right)}}{2\gamma }}$$

$$\lambda =-\left({\frac {kc}{2\gamma }}\right)\pm {\frac {\sqrt {\left[\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k\right]-4c\gamma ^{2}a}}{2\gamma }}$$

Então o comportamento do sistema vai depender da escolha de parâmetros, porém como todas constantes são positivas ${\textstyle -\left({\frac {kc}{2\gamma }}\right)}$ vai ser sempre negativo, e a única forma de ser instável é se ${\textstyle \left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k>4c\gamma ^{2}a}$, para garantir que o número seja real, e ainda ${\textstyle {\frac {\sqrt {\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k-4c\gamma ^{2}a}}{2\gamma }}>{\frac {kc}{2\gamma }}}$ para que o autovalor seja positivo. Analisando então essa última desigualdade:

$${\frac {\sqrt {\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}kc-4c\gamma ^{2}a}}{2\gamma }}>{\frac {kc}{2\gamma }}$$

$${\sqrt {\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k-4c\gamma ^{2}a}}>kc$$

Elevando ao quadrado:

$$\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k-4c\gamma ^{2}a>\left(kc\right)^{2}$$

$$4\gamma c^{2}k-4c\gamma ^{2}a>0$$

Dividindo por ${\textstyle 4c\gamma }$

$$ck-\gamma a>0$$

$$ck>\gamma a$$

Então essa é a condição para que o autovalor seja positivo. E olhando pra primeira desigualdade:

$$\left(kc\right)^{2}+4\gamma c^{2}k>4c\gamma ^{2}a$$

$${\frac {k^{2}c}{4\gamma }}+ck>\gamma a$$

Para garantir que o número seja real. Então temos duas desigualdades para satisfazer para que seja instável:

• ${\textstyle ck>\gamma a}$
• ${\textstyle {\frac {k^{2}c}{4\gamma }}+ck>\gamma a}$

Como ${\textstyle \left({\frac {k^{2}c}{4\gamma }}\right)}$ é necessariamente um termo positivo:

$$\gamma a<ck<{\frac {k^{2}c}{4\gamma }}+ck$$

Ou seja, podemos restringir a condição de instabilidade para ${\textstyle ck>\gamma a}$ pois ${\textstyle ck<{\frac {k^{2}c}{4\gamma }}+ck}$ é uma desigualdade válida para qualquer escolha de parâmetros válidos. Mas lembrando que para o outro ponto é estável se ${\textstyle ck>\gamma a}$ , então sempre temos um ponto de equilíbrio estável e outro instável (além do a instabilidade na origem). Ou seja, por exemplo para valores mais baixos de de ${\textstyle c}$ (termo de crescimento dos predadores) ou ${\textstyle k}$ (termo de amortecimento da presa) temos coexistência de ambas as espécies, se aumentar estes parâmetros, somente a presa sobrevive. Além disso, quando temos ${\textstyle k=0}$:

$$\lambda =\pm {\frac {\sqrt {-4c\gamma ^{2}a}}{2\gamma }}=\pm i{\sqrt {ca}}$$

Ou seja, temos apenas a parte imaginária, e retornamos à estabilidade do centro. Dessa forma ${\textstyle k=0}$ ou ${\textstyle k\neq 0}$ determina se o sistema atinge equilíbrio ou permanece oscilatório, e depois o conjunto de parâmetros, caso atinja estabilidade, determina se ela é atingida com ou sem predadores.

Exemplo

Para estudarmos melhor uma situação, vamos escolher os parâmetros: ${\textstyle a=1}$, ${\textstyle \alpha =0.5}$, ${\textstyle k=0.5}$, ${\textstyle c=0.75}$,${\textstyle \gamma =0.5}$. Então os pontos de equilíbrio são:

• ${\textstyle \left(0,0\right)\rightarrow \lambda =\left\{1,-0.75\right\}}$, uma sela, instável;
• ${\textstyle \left(2,0\right)\rightarrow \lambda =\left\{-1,0.25\right\}}$, outro ponto instável, outra sela;
• ${\textstyle \left(1.5,0.5\right)\rightarrow \lambda =\left\{-0.375+0.22i,-0.375-0.22i\right\}}$, agora temos um nó assintoticamente estável, pois as parte reais são negativas e as imaginárias são os conjugados.

E fazendo um rascunho do plano de fases, próximo de ${\textstyle \left(0,0\right)}$, desprezando então os termos não-lineares:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-0.75\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x\\-0.75y\end{array}}\right)$$

Próximo a ${\textstyle \left({\frac {a}{k}},0\right)=\left(2,0\right)}$:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-a&-{\frac {\alpha a}{k}}\\&\gamma {\frac {a}{k}}-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-1&-1\\&0.25\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-1&-1\\&0.25\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x-2\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\left(2-x\right)-y\\0.25y\end{array}}\right)$$

De ${\textstyle \left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {\gamma a-kc}{\alpha \gamma }}\right)=\left(1.5,0.5\right)}$:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-{\frac {kc}{\gamma }}&-{\frac {c\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\gamma a-kc}{\alpha }}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-0.75&-0.75\\0.25&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-0.75&-0.75\\0.25&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x-1.5\\y-0.5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0.75\left[\left(1.5-x\right)+\left(0.5-y\right)\right]\\0.25\left(x-1.5\right)\end{array}}\right)$$

Plotando temos então:

A esquerda o rascunho do diagrama de fases, e a direita a evolução do sistema para as condições iniciais ${\textstyle \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(2,0.05\right)}$.

Por curiosidade, se fazemos ${\textstyle k=0}$: Para ${\textstyle \left(0,0\right)}$:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&-c\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-0.75\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$$

E para ${\textstyle \left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {a}{\alpha }}\right)=\left(1.5,2.0\right)}$:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-{\frac {\alpha c}{\gamma }}\\{\frac {\gamma a}{\alpha }}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-0.75\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x-1.5\\y-2\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-0.75(y-2)\\x-1.5\end{array}}\right)$$

Plotando o resultado:

A direita o rascunho do diagrama de fase, e a esquerda a evolução para as condições iniciais ${\textstyle \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,0.5\right)}$.

Códigos

Os seguintes códigos escritos em Python foram utilizados para obter a solução numérica e plotar o rascunho do diagrama de fases próximo aos pontos de equilíbrio.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# LOTKA-VOLTERRA: Solução numérica
# Jhordan Silveira de Borba
# sbjhordan@gmail.com

def sol_lot():
    x=[]
    y=[]
    x.append(1)      # População inicial de presas
    y.append(0.5)    # População inicial de predadores
    N=400000         # Quantidade de passos
    d=0.0001         # Tamanhodos passos
    a=0              # 1: Amortecido, 0: Sem amortecimento
    
    for i in range(N-1):
        x.append(x[i]+d*(x[i]*(1-0.5*y[i])-0.5*x[i]*x[i]*a))
        y.append(y[i]+d*(y[i]*(-0.75+0.5*x[i])))
    #Plotamos a evolução temporal das frações de população
    X=np.arange(len(x)) #Eixo x
    plt.plot(X,x,'b-')
    plt.plot(X,y,'k-')
    plt.xlabel('Passo')
    plt.ylim(0,6)
    plt.show()

A função abaixo tem como finalidade plotar um rascunho do plano de fase próximo ao pontos de equilíbrio do sistema:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# LOTKA-VOLTERRA: Plano de fase
# Jhordan Silveira de Borba
# sbjhordan@gmail.com

def phase_lot():
    X = np.arange(0, 4, 0.2)  # Eixo x
    Y = np.arange(0, 4, 0.2)  # Eixo Y
    U,V=np.meshgrid(X,Y)
    
    p1=[0.,0.]           # Ponto de equilíbrio 1
    p2=[1.5,2.0]         # Ponto de equilíbrio 2
    p3=[1.5*100,0.5*100] # Ponto de equilíbrio 3
    
    c=0
    for x in X:
        l=0
        for y in Y:
            #Distâncias
            d1=np.sqrt((x-p1[0])*(x-p1[0])+(y-p1[1])*(y-p1[1]))
            d2=np.sqrt((x-p2[0])*(x-p2[0])+(y-p2[1])*(y-p2[1]))
            d3=np.sqrt((x-p3[0])*(x-p3[0])+(y-p3[1])*(y-p3[1]))
            
            #encontrar o ponto de equilíbrio mais próximo
            p=1
            if(d2<d1):
                p=2
                if(d3<d2):
                    p=3
            elif(d3<d1):
                p=3
                
            # Calculamos o vetor de variação do estado baseado no ponto mais próximo:
            # [dx/dt,dy/dt]=[a,b]
            if(p==1):
                a=x  
                b=-0.75*y
            elif(p==2):
                a=-0.75*(y-2)
                b=x-1.5
            elif(p==3):
                a=0.75*((1.5-x)+(0.5-y))
                b=0.25*(x-1.5)
            else:
                print("Algo deu errado")
            m=np.sqrt(a*a+b*b) # Módulo do vetor para normalizar
            if(m==0):
                m=1
            U[l,c]=a/m
            V[l,c]=b/m
            l=l+1
        c=c+1
    
    # Plotamos o resultado
    fig, ax = plt.subplots()
    ax.quiver(X, Y, U, V)      # Os vetores
    plt.plot(p1[0],p1[1],'ro') # O ponto de equilíbrio 1
    plt.plot(p2[0],p2[1],'go') # O ponto de equilíbrio 2
    plt.plot(p3[0],p3[1],'go') # O ponto de equilíbrio 3
    plt.show()

Principais materiais utilizados

1. Numerical Methods (Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
2. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations (R. Sureshkumar,Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
3. A estes materiais, somam-se os vistos em Modelo de Lotka-Volterra

Citações

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