Linearização de sistemas de equações não lineares

  Primeiro temos que um mapa linear é um mapa ${\textstyle V\rightarrow W}$ entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

$$f\left({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\right)=f\left({\boldsymbol {u}}\right)+f\left({\boldsymbol {v}}\right)\qquad f\left(c{\boldsymbol {u}}\right)=cf\left({\boldsymbol {u}}\right)$$

Onde ${\textstyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V}$ são vetores e ${\textstyle c\in K}$ é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

$$a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=b$$

$$\sum _{j}a_{j}x_{j}=b$$

Onde as variáveis e os coeficientes são ${\textstyle x_{j}}$ e ${\textstyle a_{j}}$ respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

$$a_{0}\left(t\right)y+a_{1}\left(t\right){\frac {dx\left(t\right)}{dt}}+\dots +a_{n-1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}x\left(t\right)}{dt^{n-1}}}+a_{n}\left(t\right){\frac {d^{n}x\left(x\right)}{dt^{n}}}=b\left(t\right)$$

$$\sum _{n}a_{n}\left(t\right){\frac {d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}}=b\left(t\right)$$

Lembrando que os termos ${\textstyle a_{j}\left(t\right)}$ e ${\textstyle b\left(t\right)}$ podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (${\textstyle n=1}$) pode ser escrita então como:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=b\left(t\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}x\left(t\right)} Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)=-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)\rightarrow x} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f\left(t,x\right)}

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=0} , então temos apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=a\left(t\right)x} , que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} ainda pode aparecer explicitamente em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)} , porém se isto não acontecer, ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} for constante, temos então uma equação autônoma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=ax=f\left(x\right)} . Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n}\left(t\right) \end{array}\right)}

Os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{j}\left(t\right)} podem ser reescritos em termo das outras equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{j}} , Por exemplo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)} , então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n0}\left(t\right)x_{0}+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} a_{0}\left(t\right) & \dots & g_{0n}\left(t\right)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{n0}\left(t\right) & \dots & a_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{0}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\end{align}}

Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{align}} É comum encontrar na literatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} podemos escrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\ \dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{align}} Podemos reescrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}} por exemplo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\ & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{align}}

Podemos ver que precisamos conhecer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)} para conhecermos completamente o comportamento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)} , o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\ \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t \end{array}\right)\end{align}}

Ou seja, temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}} . Mas ainda podemos reescrever como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)\\ \sin\left(t\right)\\ t^{2}\\ t \end{array}\right)\end{align}}

Onde temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}} . Agora, considerando que as matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} sejam independentes do tempo, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{1}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nnn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \dots & b_{1m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & \dots & b_{mm} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ \vdots\\ u_{m} \end{array}\right)\\ \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{align}} Então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)} . Omitindo a informação da dependência no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(t\right)} , temos o seguinte vetor:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{0}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)\\ \vdots\\ f_{n}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right) \end{array}\right)} Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=\left(\boldsymbol{x}_{0},\dots,\boldsymbol{x}_{n}\right)^{T}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}=\left(u_{0},\dots,u_{n}\right)^{T}} . O ponto de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{x}_{0}} ocorre quando para uma entrada constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}\left(t\right)=\boldsymbol{u}_{0}} temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{\boldsymbol{x}}=0} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=A\boldsymbol{x}_{0}+B\boldsymbol{u}_{0}\rightarrow\boldsymbol{x}_{0}=-A^{-1}B\boldsymbol{u}_{0}}

• Se a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
• Se a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle AB} :
  • Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \text{Posto}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left[A\right]=\text{Posto}\left[AB\right]\rightarrow} há um infinito número de pontos de equilíbrio;
    • Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendoFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{x}_{0}=\overline{\boldsymbol{x}}_{0}+\text{kernel}\left[A\right]} (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{v}} que satisfazem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A\boldsymbol{v}=0} ).
  • Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \text{Posto}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left[A\right]\neq\text{Posto}\left[AB\right]\rightarrow} não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)}

Novamente o ponto de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{x}_{0}} ocorre quando para uma entrada constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}\left(t\right)=\boldsymbol{u}_{0}} quando temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{\boldsymbol{x}}=f\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=0} . Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)} na vizinhaça do do ponto de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)} . Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{n}\left(x\right)=\frac{f\left(c\right)\left(x-c\right)^{0}}{0!}+\frac{f'\left(c\right)\left(x-c\right)^{1}}{1!}+\dots+\frac{f^{\left(n\right)}c\left(c\right)\left(x-c\right)^{n}}{n!}}

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(a,b\right)} pode ser aproximada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{1}-a\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{2}-b\right)}

Mas escrevendo então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tilde{x}_{1}=\left(x_{1}-a\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tilde{x}_{2}=\left(x_{2}-b\right)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}|_{\left(a,b\right)}\tilde{x}_{1}+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}|_{\left(a,b\right)}\tilde{x}_{2}}

E tendo os vetores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tilde{\boldsymbol{x}}=\left(\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2}\right)^{T}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}}  :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\left(x_{2},x_{2}\right)}|_{\left(a,b\right)}\tilde{\boldsymbol{x}}}

Onde:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\left(x_{2},x_{2}\right)}=\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\boldsymbol{x}}=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\end{array}\right)^{T}}

Generalizando para nosso caso temos então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{x}}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right)+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)\left(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)}{\partial\boldsymbol{x}}=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{m}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}}

Uma vez que agora ambos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(f_{1},\dots,f_{m}\right)^{T}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{x}=\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)^{T}} são vetores . E como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)=0} , fazendo o deslocamento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \tilde{\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}} , temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=A\tilde{\boldsymbol{x}}\left(t\right)+B\tilde{\boldsymbol{u}}\left(t\right)}

Onde:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}\qquad B=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(u_{1},\dots,u_{m}\right)}}

Onde a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{f}} em cada ponto onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{f}} é diferenciável.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)\qquad B=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_{n}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial u_{m}} \end{array}\right)}

Principais materiais utilizados

1. Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
2. Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)