Linearização de sistemas de equações não lineares

  Primeiro temos que um mapa linear é um mapa $V\to W$ entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

$$f(\mathit{u}+\mathit{v})=f\left(\mathit{u}\right)+f\left(\mathit{v}\right)f\left(c\mathit{u}\right)=cf\left(\mathit{u}\right)$$

Onde $\mathit{u},\mathit{v}\in V$ são vetores e $c\in K$ é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

$$a_1{x}_1+\dots +a_n{x}_n=b$$$$\sum _j{a}_j{x}_j=b$$Onde as variáveis e os coeficientes são $x_j$ e $a_j$ respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

$$a_0\left(t\right)y+a_1\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}+\dots +a_{n-1}\left(t\right)\frac{d^{n-1}x\left(t\right)}{d{t}^{n-1}}+a_n\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(x\right)}{d{t}^n}=b\left(t\right)$$$$\sum _n{a}_n\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(t\right)}{d{t}^n}=b\left(t\right)$$

Lembrando que os termos $a_j\left(t\right)$ e $b\left(t\right)$ podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem ($n=1$) pode ser escrita então como:$$a_0\left(t\right)x\left(t\right)+a_1\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=b\left(t\right)$$$$\dot{x}=\frac{b\left(t\right)}{a_1\left(t\right)}-\frac{a_0\left(t\right)}{a_1\left(t\right)}x\left(t\right)$$Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade $g\left(t\right)=\frac{b\left(t\right)}{a_1\left(t\right)}$, $a\left(t\right)=-\frac{a_0\left(t\right)}{a_1\left(t\right)}$ e $x\left(t\right)\to x$:

$$\dot{x}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f(t,x)$$

Se $g\left(t\right)=0$, então temos apenas $\dot{x}=a\left(t\right)x$, que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que $t$ ainda pode aparecer explicitamente em $a\left(t\right)$, porém se isto não acontecer, ou seja, $a$ for constante, temos então uma equação autônoma $\dot{x}=ax=f\left(x\right)$. Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:$$\left(\begin{array}{c}\dot{x_0}\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_0\left(t\right)x_0+g_0\left(t\right)\\ ⋮\\ a_n\left(t\right)x_n+g_n\left(t\right)\end{array}\right)$$

Os termos $g_j\left(t\right)$ podem ser reescritos em termo das outras equações $x_j$, Por exemplo $g_0=g_{01}\left(t\right)x_1+\dots g_{0n}\left(t\right)x_n+b_0\left(t\right)$, então:

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}\dot{x_0}\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}{a}_0\left(t\right)x_0+g_{01}\left(t\right)x_1+\dots g_{0n}\left(t\right)x_n+b_0\left(t\right)\\ ⋮\\ a_n\left(t\right)x_n+g_{n0}\left(t\right)x_0+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_n\left(t\right)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{a}_0\left(t\right)& \dots & g_{0n}\left(t\right)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ g_{n0}\left(t\right)& \dots & a_n\left(t\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_0\left(t\right)\\ ⋮\\ b_n\left(t\right)\end{array}\right)\end{array}$$

Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

$$\begin{array}{rl}\dot{\mathit{x}}& =A\mathit{x}+\mathit{b}\\ & =A\mathit{x}+\mathbb{𝕀}\mathit{b}\\ & =A\mathit{x}+B\mathit{u}\end{array}$$É comum encontrar na literatura $\mathit{u}$ sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz $B$ podemos escrever $\mathit{u}$ com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =\cos \left(t\right)(x+1)+\sin \left(t\right)(y+1)+t^2\\ \dot{y}& =\cos \left(t\right)(x+1)-\sin \left(t\right)(y+1)+t\end{array}$$Podemos reescrever $\dot{x}$ por exemplo:

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =[\cos \left(t\right)]x+[\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)(y+1)+t^2]\\ & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{array}$$

Podemos ver que precisamos conhecer $y\left(t\right)$ para conhecermos completamente o comportamento de $x\left(t\right)$, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:$$\begin{array}{rl}\dot{\mathit{x}}& =A\mathit{x}+\mathit{b}\\ \left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)& -\sin \left(t\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)+t^2\\ \cos \left(t\right)-\sin \left(t\right)+t\end{array}\right)\end{array}$$

Ou seja, temos $\mathit{b}={\left(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)+t^2,& \cos \left(t\right)-\sin \left(t\right)+t\end{array}\right)}^T$. Mas ainda podemos reescrever como:

$$\begin{array}{rl}\dot{\mathit{x}}& =A\mathit{x}+B\mathit{u}\\ \left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)& -\sin \left(t\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\ \sin \left(t\right)\\ t^2\\ t\end{array}\right)\end{array}$$

Onde temos $\mathit{u}={(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right),& \sin \left(t\right)\end{array},t^2,t)}^T$. Agora, considerando que as matrizes $A$ e $B$ sejam independentes do tempo, temos:

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}\dot{x_1}\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nnn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \dots & b_{mm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_m\end{array}\right)\\ \dot{\mathit{x}}\left(t\right)& =A\mathit{x}\left(t\right)+B\mathit{u}\left(t\right)\end{array}$$Então $\dot{\mathit{x}}\left(t\right)=f(\mathit{x}\left(t\right),\mathit{u}\left(t\right))$. Omitindo a informação da dependência no tempo $\left(t\right)$, temos o seguinte vetor:

$$\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})=\left(\begin{array}{c}{f}_0(\mathit{x},\mathit{u})\\ ⋮\\ f_n(\mathit{x},\mathit{u})\end{array}\right)$$Onde $x={({\mathit{x}}_0,\dots ,{\mathit{x}}_n)}^T$ e $\mathit{u}={(u_0,\dots ,u_n)}^T$. O ponto de equilíbrio ${\mathit{x}}_0$ ocorre quando para uma entrada constante $\mathit{u}\left(t\right)={\mathit{u}}_0$ temos $\dot{\mathit{x}}=0$:

$$0=A{\mathit{x}}_0+B{\mathit{u}}_0\to {\mathit{x}}_0=-A^{-1}B{\mathit{u}}_0$$

• Se a matriz $A$ é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
• Se a matriz $A$ é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto $AB$:
  • $\text{Posto}$$\left[A\right]=\text{Posto}\left[AB\right]\to$ há um infinito número de pontos de equilíbrio;
    • Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo${\mathit{x}}_0={\bar{\mathit{x}}}_0+\text{kernel}\left[A\right]$ (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores $\mathit{v}$ que satisfazem $A\mathit{v}=0$).
  • $\text{Posto}$$\left[A\right]\ne \text{Posto}\left[AB\right]\to$ não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

$$\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})$$

Novamente o ponto de equilíbrio ${\mathit{x}}_0$ ocorre quando para uma entrada constante $\mathit{u}\left(t\right)={\mathit{u}}_0$ quando temos $\dot{\mathit{x}}=f(\mathit{x},\mathit{u})=0$. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função $f(\mathit{x},\mathit{u})$ na vizinhaça do do ponto de equilíbrio $({\mathit{x}}_0,{\mathit{u}}_0)$. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de $c$:

$$P_n\left(x\right)=\frac{f\left(c\right){(x-c)}^0}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(c\right){(x-c)}^1}{1!}+\dots +\frac{f^{\left(n\right)}c\left(c\right){(x-c)}^n}{n!}$$

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto $(a,b)$ pode ser aproximada por:

$$f(x_1,x_2)\approx f(a,b)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}{|}_{(a,b)}(x_1-a)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}{|}_{(a,b)}(x_2-b)$$

Mas escrevendo então ${\tilde{x}}_1=(x_1-a)$ e ${\tilde{x}}_2=(x_2-b)$:

$$f(x_1,x_2)\approx f(a,b)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}{|}_{(a,b)}{\tilde{x}}_1+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}{|}_{(a,b)}{\tilde{x}}_2$$

E tendo os vetores $\tilde{\mathit{x}}={({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2)}^T$ e $\mathit{x}={(x_1,x_2)}^T$ :

$$f(x_1,x_2)\approx f(a,b)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_2,x_2)}{|}_{(a,b)}\tilde{\mathit{x}}$$

Onde:

$$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_2,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial \mathit{x}}={\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}& \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\end{array}\right)}^T$$

Generalizando para nosso caso temos então:

$$\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})=\mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{u}}_0)+{\mathit{f}}_{\mathit{x}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{u}}_0)(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)+{\mathit{f}}_{\mathit{u}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{u}}_0)(\mathit{u}-{\mathit{u}}_0)$$$$f_{\mathit{x}}=\frac{\partial \mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})}{\partial \mathit{x}}=\frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}$$

Uma vez que agora ambos $\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})={(f_1,\dots ,f_m)}^T$ e $\mathit{x}={(x_1,\dots ,x_n)}^T$ são vetores . E como $\mathit{f}({\mathit{x}}_0,{\mathit{u}}_0)=0$, fazendo o deslocamento $\tilde{\mathit{x}}=\mathit{x}-{\mathit{x}}_0$ e $\tilde{\mathit{u}}=\mathit{u}-{\mathit{u}}_0$, temos:

$$\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{u})=A\tilde{\mathit{x}}\left(t\right)+B\tilde{\mathit{u}}\left(t\right)$$

Onde:

$$A=\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}B=\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (u_1,\dots ,u_m)}$$

Onde a matriz $A$ é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de $\mathit{f}$ em cada ponto onde $\mathit{f}$ é diferenciável.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial u_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial u_m}\end{array}\right)$$

Principais materiais utilizados

1. Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
2. Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)