Linearização de sistemas de equações não lineares

  Primeiro temos que um mapa linear é um mapa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle V\rightarrow W} entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in V} são vetores e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c\in K} é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{j}a_{j}x_{j}=b} Onde as variáveis e os coeficientes são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{j}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a_{j}} respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{0}\left(t\right)y+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}+\dots+a_{n-1}\left(t\right)\frac{d^{n-1}x\left(t\right)}{dt^{n-1}}+a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(x\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n}a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)}

Lembrando que os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a_{j}\left(t\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b\left(t\right)} podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n=1} ) pode ser escrita então como:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=b\left(t\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}x\left(t\right)} Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)=-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)\rightarrow x} :

$${\dot {x}}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f\left(t,x\right)$$

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=0} , então temos apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=a\left(t\right)x} , que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} ainda pode aparecer explicitamente em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)} , porém se isto não acontecer, ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} for constante, temos então uma equação autônoma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=ax=f\left(x\right)} . Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n}\left(t\right) \end{array}\right)}

Os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{j}\left(t\right)} podem ser reescritos em termo das outras equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{j}} , Por exemplo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)} , então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n0}\left(t\right)x_{0}+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} a_{0}\left(t\right) & \dots & g_{0n}\left(t\right)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{n0}\left(t\right) & \dots & a_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{0}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\end{align}}

Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{align}} É comum encontrar na literatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} podemos escrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\ \dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{align}} Podemos reescrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}} por exemplo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\ & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{align}}

Podemos ver que precisamos conhecer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)} para conhecermos completamente o comportamento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)} , o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\ \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t \end{array}\right)\end{align}}

Ou seja, temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}} . Mas ainda podemos reescrever como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)\\ \sin\left(t\right)\\ t^{2}\\ t \end{array}\right)\end{align}}

Onde temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}} . Agora, considerando que as matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} sejam independentes do tempo, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{1}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nnn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \dots & b_{1m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & \dots & b_{mm} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ \vdots\\ u_{m} \end{array}\right)\\ \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{align}} Então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)} . Omitindo a informação da dependência no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(t\right)} , temos o seguinte vetor:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{0}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)\\ \vdots\\ f_{n}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right) \end{array}\right)} Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=\left(\boldsymbol{x}_{0},\dots,\boldsymbol{x}_{n}\right)^{T}} e ${\textstyle {\boldsymbol {u}}=\left(u_{0},\dots ,u_{n}\right)^{T}}$. O ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=0}$:

$$0=A{\boldsymbol {x}}_{0}+B{\boldsymbol {u}}_{0}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}=-A^{-1}B{\boldsymbol {u}}_{0}$$

• Se a matriz ${\textstyle A}$ é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
• Se a matriz ${\textstyle A}$ é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto ${\textstyle AB}$:
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]={\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ há um infinito número de pontos de equilíbrio;
    • Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}={\overline {\boldsymbol {x}}}_{0}+{\text{kernel}}\left[A\right]}$ (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores ${\textstyle {\boldsymbol {v}}}$ que satisfazem ${\textstyle A{\boldsymbol {v}}=0}$).
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]\neq {\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)$$

Novamente o ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ quando temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=0}$. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função ${\textstyle f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}$ na vizinhaça do do ponto de equilíbrio ${\textstyle \left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)}$. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de ${\textstyle c}$:

$$P_{n}\left(x\right)={\frac {f\left(c\right)\left(x-c\right)^{0}}{0!}}+{\frac {f'\left(c\right)\left(x-c\right)^{1}}{1!}}+\dots +{\frac {f^{\left(n\right)}c\left(c\right)\left(x-c\right)^{n}}{n!}}$$

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto ${\textstyle \left(a,b\right)}$ pode ser aproximada por:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{1}-a\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{2}-b\right)$$

Mas escrevendo então ${\textstyle {\tilde {x}}_{1}=\left(x_{1}-a\right)}$ e ${\textstyle {\tilde {x}}_{2}=\left(x_{2}-b\right)}$:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{1}+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{2}$$

E tendo os vetores ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}=\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}}$ :

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {\boldsymbol {x}}}$$

Onde:

$${\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}={\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}\end{array}}\right)^{T}$$

Generalizando para nosso caso temos então:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {x}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {u}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}\right)$$

$$f_{\boldsymbol {x}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}$$

Uma vez que agora ambos ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=\left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)^{T}}$ são vetores . E como ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)=0}$, fazendo o deslocamento ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}}$ e ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}}$, temos:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=A{\tilde {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)+B{\tilde {\boldsymbol {u}}}\left(t\right)$$

Onde:

$$A={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}\qquad B={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(u_{1},\dots ,u_{m}\right)}}$$

Onde a matriz ${\textstyle A}$ é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ em cada ponto onde ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ é diferenciável.

$$A=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{array}}\right)\qquad B=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{m}}}\end{array}}\right)$$

Principais materiais utilizados

1. Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
2. Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)