Linearização de sistemas de equações não lineares

Primeiro temos que um mapa linear é um mapa ${\textstyle V\rightarrow W}$ entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

$$f\left({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\right)=f\left({\boldsymbol {u}}\right)+f\left({\boldsymbol {v}}\right)\qquad f\left(c{\boldsymbol {u}}\right)=cf\left({\boldsymbol {u}}\right)$$

Onde ${\textstyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V}$ são vetores e ${\textstyle c\in K}$ é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

$$a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=b$$

$$\sum _{j}a_{j}x_{j}=b$$

Onde as variáveis e os coeficientes são ${\textstyle x_{j}}$ e ${\textstyle a_{j}}$ respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

$$a_{0}\left(t\right)y+a_{1}\left(t\right){\frac {dx\left(t\right)}{dt}}+\dots +a_{n-1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}x\left(t\right)}{dt^{n-1}}}+a_{n}\left(t\right){\frac {d^{n}x\left(x\right)}{dt^{n}}}=b\left(t\right)$$

$$\sum _{n}a_{n}\left(t\right){\frac {d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}}=b\left(t\right)$$

Lembrando que os termos ${\textstyle a_{j}\left(t\right)}$ e ${\textstyle b\left(t\right)}$ podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (${\textstyle n=1}$) pode ser escrita então como:

$$a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)+a_{1}\left(t\right){\frac {dx\left(t\right)}{dt}}=b\left(t\right)$$

$${\dot {x}}={\frac {b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}}-{\frac {a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}}x\left(t\right)$$

Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade ${\textstyle g\left(t\right)={\frac {b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}}}$, ${\textstyle a\left(t\right)=-{\frac {a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}}}$ e ${\textstyle x\left(t\right)\rightarrow x}$:

$${\dot {x}}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f\left(t,x\right)$$

Se ${\textstyle g\left(t\right)=0}$, então temos apenas ${\textstyle {\dot {x}}=a\left(t\right)x}$, que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que ${\textstyle t}$ ainda pode aparecer explicitamente em ${\textstyle a\left(t\right)}$, porém se isto não acontecer, ou seja, ${\textstyle a}$ for constante, temos então uma equação autônoma ${\textstyle {\dot {x}}=ax=f\left(x\right)}$. Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x_{0}}}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{0}\left(t\right)\\\vdots \\a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n}\left(t\right)\end{array}}\right)$$

Os termo ${\textstyle g_{j}\left(t\right)}$ podem ser reescritos em termo das outras equações ${\textstyle x_{j}}$, Por exemplo ${\textstyle g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)}$, então:

$${\begin{aligned}\left({\begin{array}{c}{\dot {x_{0}}}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{c}a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)\\\vdots \\a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n0}\left(t\right)x_{0}+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_{n}\left(t\right)\end{array}}\right)\\&=\left({\begin{array}{ccc}a_{0}\left(t\right)&\dots &g_{0n}\left(t\right)\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n0}\left(t\right)&\dots &a_{n}\left(t\right)\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{0}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}b_{0}\left(t\right)\\\vdots \\b_{n}\left(t\right)\end{array}}\right)\end{aligned}}$$

Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

$${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}&=A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {b}}\\&=A{\boldsymbol {x}}+\mathbb {I} {\boldsymbol {b}}\\&=A{\boldsymbol {x}}+B{\boldsymbol {u}}\end{aligned}}$$

É comum encontrar na literatura ${\textstyle {\boldsymbol {u}}}$ sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz ${\textstyle B}$ podemos escrever ${\textstyle {\boldsymbol {u}}}$ com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

$${\begin{aligned}{\dot {x}}&=\cos \left(t\right)\left(x+1\right)+\sin \left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\{\dot {y}}&=\cos \left(t\right)\left(x+1\right)-\sin \left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{aligned}}$$

Podemos reescrever ${\textstyle {\dot {x}}}$ por exemplo:

$${\begin{aligned}{\dot {x}}&=\left[\cos \left(t\right)\right]x+\left[\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\&=a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{aligned}}$$

Podemos ver que precisamos conhecer ${\textstyle y\left(t\right)}$ para conhecermos completamente o comportamento de ${\textstyle x\left(t\right)}$, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:

$${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}&=A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {b}}\\\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)&\sin \left(t\right)\\\cos \left(t\right)&-\sin \left(t\right)\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)+t^{2}\\\cos \left(t\right)-\sin \left(t\right)+t\end{array}}\right)\end{aligned}}$$

Ou seja, temos ${\textstyle {\boldsymbol {b}}=\left({\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)+t^{2},&\cos \left(t\right)-\sin \left(t\right)+t\end{array}}\right)^{T}}$. Mas ainda podemos reescrever como:

$${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}&=A{\boldsymbol {x}}+B{\boldsymbol {u}}\\\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)&\sin \left(t\right)\\\cos \left(t\right)&-\sin \left(t\right)\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\\sin \left(t\right)\\t^{2}\\t\end{array}}\right)\end{aligned}}$$

Onde temos ${\textstyle {\boldsymbol {u}}=\left({\begin{array}{cc}\cos \left(t\right),&\sin \left(t\right)\end{array}},t^{2},t\right)^{T}}$. Agora, considerando que as matrizes ${\textstyle A}$ e ${\textstyle B}$ sejam independentes do tempo, temos:

$${\begin{aligned}\left({\begin{array}{c}{\dot {x_{1}}}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nnn}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}b_{11}&\dots &b_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\dots &b_{mm}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{1}\\\vdots \\u_{m}\end{array}}\right)\\{\dot {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)&=A{\boldsymbol {x}}\left(t\right)+B{\boldsymbol {u}}\left(t\right)\end{aligned}}$$

Então ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)=f\left({\boldsymbol {x}}\left(t\right),{\boldsymbol {u}}\left(t\right)\right)}$. Omitindo a informação da dependência no tempo ${\textstyle \left(t\right)}$, temos o seguinte vetor:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=\left({\begin{array}{c}f_{0}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)\\\vdots \\f_{n}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)\end{array}}\right)$$

Onde ${\textstyle x=\left({\boldsymbol {x}}_{0},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {u}}=\left(u_{0},\dots ,u_{n}\right)^{T}}$. O ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=0}$:

$$0=A{\boldsymbol {x}}_{0}+B{\boldsymbol {u}}_{0}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}=-A^{-1}B{\boldsymbol {u}}_{0}$$

• Se a matriz ${\textstyle A}$ é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
• Se a matriz ${\textstyle A}$ é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto ${\textstyle AB}$:
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]={\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ há um infinito número de pontos de equilíbrio;
    • Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}={\overline {\boldsymbol {x}}}_{0}+{\text{kernel}}\left[A\right]}$ (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores ${\textstyle {\boldsymbol {v}}}$ que satisfazem ${\textstyle A{\boldsymbol {v}}=0}$).
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]\neq {\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)$$

Novamente o ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ quando temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=0}$. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função ${\textstyle f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}$ na vizinhaça do do ponto de equilíbrio ${\textstyle \left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)}$. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de ${\textstyle c}$:

$$P_{n}\left(x\right)={\frac {f\left(c\right)\left(x-c\right)^{0}}{0!}}+{\frac {f'\left(c\right)\left(x-c\right)^{1}}{1!}}+\dots +{\frac {f^{\left(n\right)}c\left(c\right)\left(x-c\right)^{n}}{n!}}$$

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto ${\textstyle \left(a,b\right)}$ pode ser aproximada por:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{1}-a\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{2}-b\right)$$

Mas escrevendo então ${\textstyle {\tilde {x}}_{1}=\left(x_{1}-a\right)}$ e ${\textstyle {\tilde {x}}_{2}=\left(x_{2}-b\right)}$:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{1}+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{2}$$

E tendo os vetores ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}=\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}}$ :

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {\boldsymbol {x}}}$$

Onde:

$${\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}={\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}\end{array}}\right)^{T}$$

Generalizando para nosso caso temos então:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {x}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {u}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}\right)$$

$$f_{\boldsymbol {x}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}$$

Uma vez que agora ambos ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=\left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)^{T}}$ são vetores . E como ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)=0}$, fazendo o deslocamento ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}}$ e ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}}$, temos:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=A{\tilde {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)+B{\tilde {\boldsymbol {u}}}\left(t\right)$$

Onde:

$$A={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}\qquad B={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(u_{1},\dots ,u_{m}\right)}}$$

Onde a matriz ${\textstyle A}$ é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ em cada ponto onde ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ é diferenciável.

$$A=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{array}}\right)\qquad B=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{m}}}\end{array}}\right)$$

Principais materiais utilizados

1. Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
2. Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)