Probabilidade básica

Conceitos importantes:

• Experimento aleatório: experiência cujo resultado não é conhecido com certeza;

• Espaço amostral ${\textstyle \left(\Omega \right)}$: conjunto formado por todos os possíveis resultados um experimento aleatório;

• Eventos: subconjuntos do espaço amostral;

• Espaço equiprovável: espaço em que todos os pontos amostrais tem a mesma chance de ocorrer;

• Probabilidade de ocorrer um evento:

  • Definição clássica (a priori):

  $$P\left(A\right)={\frac {N\left(A\right)}{N\left(\Omega \right)}}={\frac {\text{número de resultados do evento A}}{\text{número de resultados exclusivos e igualmente possíveis}}}$$

  • Definição frequentista (a posteriori):

  $$P\left(A\right)={\frac {r}{n}}={\frac {\text{r vezes ocorreu o evento A}}{\text{experimento executado n vezes}}}$$

  • Definição axiomática:

    • ${\textstyle 0\leq P\left(A\right)\leq 1,\forall A\in \Omega }$

    • ${\textstyle P\left(\Omega \right)=1}$

    • Se ${\textstyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ são eventos mutuamente exclusivos, então: ${\textstyle P\left(\cup _{i=1}^{n}A\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A\right)}$

• Eventos exclusivos: ${\textstyle A\cap B=\oslash }$:

  • Eventos complementares: ${\textstyle A\cap B=\oslash }$ e ${\textstyle A\cup B=\Omega }$

• União dos eventos (A ou B):

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

• Probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, se ocorrer B):

$$P\left(A|B\right)={\frac {P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}}$$

Para eventos independentes:

$$P\left(A|B\right)=P\left(A\right)$$

Então para eventos independentes temos que a probabilidade de ocorrer o evento A e B é:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$$

Mas para um caso mais geral:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A|B\right)P\left(B\right)$$

Ou seja a probabilidade de ocorrer os dois é a probabilidade de ocorrer o evento B (${\textstyle P\left(B\right)}$) multiplicado pela probabilidade de ocorrer o evento A se ocorrer o evento B ${\textstyle P\left(A|B\right)}$, ou o contrário. Como exemplo vamos analisar duas formas de encarar a probabilidade de uma presa morrer, para isso vamos definir algumas coisas:

• Os animais podem ser extintos por predação ${\textstyle \mu _{\alpha }}$ e outros fatores naturais ${\textstyle e_{\alpha }}$ (falta de alimento, idade, etc);
• Os parâmetros são definidos em ${\textstyle e_{\alpha }=\mu _{\alpha }=0.2}$ ;
• Será utilizada a interpretação à priori:
  • ${\textstyle \Omega _{e}=\left\{e,s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}}$, no evento ${\textstyle e}$ a presa é extinta por outros fatores naturais e ${\textstyle s_{j}}$ sobrevive.
  • ${\textstyle \Omega _{\mu }=\left\{e,s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}}$, onde ${\textstyle e}$ a presa é predada e ${\textstyle s_{j}}$ sobrevive.

O primeiro caso é computando a probabilidade total da presa ser extinta como ${\textstyle P=\mu _{\alpha }+e_{\alpha }=0.4}$. Ou seja é como se cada presa tem 40% de chance no total de ser extinta, onde desses 40%, 20% é devido a predação e 20% por outros fatores naturais. A probabilidade então de ser extinta, considerando que é dada pela união dos conjuntos que dizem respeito a ser predada ${\textstyle A}$ e ser extinta por fatores naturais ${\textstyle B}$ é:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$

Temos ${\textstyle P\left(A\cap B\right)=0}$. Então se ocorreu ${\textstyle B}$, não pode ocorrer ${\textstyle A}$, ${\textstyle P\left(A|B\right)=0}$, ou vice-versa, são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, as combinações possíveis onde não ocorre extinção é:

$$\Omega _{ss}=\left\{{\begin{array}{cccc}-&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}s_{0}&-&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&-&s_{2}s_{3}\\s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&-\end{array}}\right\}$$

Lembrando não podemos repetir os eventos, nem de extinção, nem de sobrevivência. Se retirarmos a extinção no primeiro evento não podemos retirar no segundo, por exemplo ${\textstyle \Omega _{es}=\left\{es_{0},es_{1},es_{2},es_{3}\right\}}$ ou , ${\textstyle \Omega _{se}=\left\{s_{0}e,s_{1}e,s_{2}e,s_{3}e\right\}}$, então o espaço amostral total é:

$$\Omega =\Omega _{ss}\cup \Omega _{es}\cup \Omega _{se}=\left\{{\begin{array}{ccccc}-&es_{0}&es_{1}&es_{2}&es_{3}\\s_{0}e&-&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}e&s_{1}s_{0}&-&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}e&s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&-&s_{2}s_{3}\\s_{3}e&s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&-\end{array}}\right\}$$

A probabilidade de ocorrer extinção é ${\textstyle {\frac {8}{20}}=0.4}$. Outra forma de computar a probabilidade total de uma presa ser extinta, é tratar a probabilidade de ser extinta por causas naturais (${\textstyle e_{\alpha }}$), e a probabilidade de ser predada a cada encontro com predador (${\textstyle \mu _{\alpha }}$) como eventos independentes. Portanto a probabilidade total da presa ser extinta neste cenário é ${\textstyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)}$. Isto é:

$$\Omega =\Omega _{e}\cup \Omega _{e}=\left\{{\begin{array}{ccccc}ee&es_{0}&es_{1}&es_{2}&es_{3}\\s_{0}e&s_{0}s_{0}&s_{0}s_{1}&s_{0}s_{2}&s_{0}s_{3}\\s_{1}e&s_{1}s_{0}&s_{1}s_{1}&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{3}\\s_{2}e&s_{2}s_{0}&s_{2}s_{1}&s_{2}s_{2}&s_{2}s_{3}\\s_{3}e&s_{3}s_{0}&s_{3}s_{1}&s_{3}s_{2}&s_{3}s_{3}\end{array}}\right\}$$

Agora a probabilidade é ${\textstyle {\frac {9}{25}}=0.36}$. Que é o mesmo resultado se fazemos ${\textstyle P=\mu _{\alpha }+e_{\alpha }-\mu _{\alpha }e_{\alpha }=0.36}$

Principais materiais utilizados:

1. Introdução à Teoria das Probabilidades (Victor Hugo Lachos Davila, UNICAMP)