Equação de Fitzhugh-Nagumo

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do sistema FitzHungh-Nagumo, e das equações que o compõem, para potenciais de ação em células e tecidos excitáveis. O método computacional utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

Potencial de Ação em Neurônios

A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmembranas como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio (Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Desta forma, todas as células vivas possuem um potencial de repouso (PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico em relação ao meio (cerca de 0,1V), mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática.

Existem células que reagem a estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo(sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis. Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: o potencial de ação (PA); um pulso elétrico intenso capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana. O PA se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos (com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço. A esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso (que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal). Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio de um neurônio (Figura 1) eles assumem forma da curva apresentada na Figura 2.

Figura 1 -Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.

Figura 2 -Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:

• O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo (limiar) para ser ativado. Abaixo desse limiar, o estímulo decai como em uma célula não excitável;
• Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possível dentro de sua capacidade, independente de quanto o estímulo aplicado é maior do que o limiar;
• A etapa de despolarização (crescimento do PA) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização (decaimento do PA);
• O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.

Referências

• 1. Jorge A. Quillfeldt,"ORIGEM DOS POTENCIAIS ELÉTRICOS DAS CÉLULAS NERVOSAS"
• 2. Eugene M. Izhikevich and Richard FitzHugh, "FitzHugh-Nagumo model"
• 3. Gabriel Perry Natanni Garcia, "NUMERICAL SIMULATION OF THE NAGUMO EQUATION BY FINITE DIFFERENCEMETHOD"
• 4. Binbin Xu, Stéphane Binczak, Sabir Jacquir, Oriol Pont, Hussein Yahia "Parameters Analysis of FitzHugh-Nagumo Model for a Reliable Simulation"