Derivada Numérica
A derivada de uma função é definida como um processo de limite, o qual é matematicamente descrito por:
| (Eq. 1) |
Numericamente é impossível tomarmos o limite ; temos necessariamente que trabalhar com um valor de finito. Portanto, a todo cálculo numérico de uma derivada será associado um erro numérico. Abaixo veremos dois métodos numéricos para calcular derivadas e estimaremos os erros associados a tais métodos.
Derivada à direita
Este método se baseia na definição formal de derivada. Para um dado valor de incremento , definimos a derivada numérica (a direita) como:
| (Eq. 2) |
A expressão a direita é chamada de quociente diferencial de Newton. Existem duas fontes de erro nessa expressão, o erro de arredondamento e o erro de truncamento. O primeiro é um erro associado à precisão numérica dos computadores, que é finita (o número de casas dos números). Comparando a expressão (2) com a (1), notamos que, quanto menor o valor de , o valor estimado numericamente é mais próximo ao valor real. No entanto, numericamente não podemos tomar tão pequeno quanto se queira, porque há um limite de precisão numérica. Assim, na região do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} pequeno há o tipo de erro chamado de erro de arredondamento.
Por exemplo, se o nosso computador hipotético processar uma operação matemática com 4 casas decimais, temos que, para a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x^2 } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0,1) = 0,01} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0,1001) = 0,01002001} . Note que, usando a precisão de nosso computador, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = f(x+\Delta x)} no caso em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 0,01} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 0,001} . Com isso, o resultado da derivada numérica seria Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\, '(0,1) = 0} , o que sabemos não ser verdade, já que podemos calcular essa derivada analiticamente. Isso coloca um limite inferior para o incremento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} , e assim para a precisão da estimativa numérica da derivada.
O segundo tipo de erro podemos dizer que é "intrínseco" ao método numérico. Para estimá-lo, faremos uso da expansão em série de Taylor da função :Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)}
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+\Delta x) = f(x) + f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2 + \frac{1}{6}f'''(x)(\Delta x)^3 + ...} | (Eq. 3) |
manipulando os termos acima, temos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} = f' + \frac{1}{2}f''\Delta x + ... \, ,}
e assim
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f' = \underbrace{{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}}_{Quociente\; de\; Newton} - \frac{1}{2}f''\Delta x + ... \, .}
Comparando a expressão acima com o método de de derivada à direita , Eq. 2, notamos que a diferença existe a partir do termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} . Podemos dizer que o erro ao usar a quociente de Newton para calcular a derivada é proporcional à Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} . Assim, vemos que o erro cresce linearmente com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} e portanto devemos usar valores pequenos do incremento.
Resumindo, por um lado temos o erro de truncamento e pelo outro o de arredondamento, onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um intervalo de valores dentro do qual o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. Nas figuras 5 e 6 mostramos um exemplo.
Derivada à esquerda
A derivada numérica pode também ser calculada com um incremento a esquerda do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} (e também centrado no Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} como veremos depois). Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . Existem funções que podem ser contínuas em um ponto, porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida. O exemplo mais simples é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|} , continua em todo e com derivada em todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \neq 0} . Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.
Derivada Centrada
Outro cálculo numérico da derivada pode ser feito baseado na declividade de dois pontos próximos, um antes e outro depois do ponto onde queremos avaliar a derivada.
A declividade da linha definida por esses dois pontos é:
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)\approx {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)\over 2\Delta x}} | (Eq. 4) |
que é chamada de derivada centrada.
Podemos mostrar que o erro intrínseco a este método é menor do que o erro associado ao método anterior. Para estimar o erro de truncamento, expandimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} ( feito na Eq(3)) e em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\Delta x} :
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x-\Delta x) = f(x) + f'(x)(-\Delta x) + \frac{1}{2}f''(x)(-\Delta x)^2 - {1\over 6}f'''(x)(\Delta x)^3 + ...}
Somando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+\Delta x) } dada pela Eq.(3) e os termos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x-\Delta x) } da expressao acima, notamos que os termos lineares em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\Delta x} se cancelam. Isolando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)} , temos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) = \underbrace{{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)\over 2\Delta x}} -{2\over 6}f'''(x)(\Delta x)^2 + ...}
Comparando a expressão acima com a definição do método de derivada centrada, Eq. 4, notamos que o erro de truncamento é da ordem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta x)^2} . Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\Delta x| < 1 } , vemos que o erro de truncamento associado ao método de derivada centrada é menor do que o erro para a derivada à direita.
Medida numérica do Erro associado a cada método
Para ter uma estimativa do erro associado a utilização da derivada numérica, podemos comparar valores utilizando uma função que tem sua derivada conhecida analiticamente. Assim, o erro é dado por
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle erro = {|f'_{an}(x) - f'_{num}(x)| \over |f'_{an}(x)|}, }
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'_{an}(x)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'_{num}(x)} são as derivada analítica e numérica de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , respectivamente.
Note que, multiplicando o erro por 100, temos a porcentagem de erro que acompanha a derivada numérica.
Programa
Implementar a derivada numérica em FORTRAN é apenas uma linha de código:
...
Df = (f(x+h) - f(x))/h
...
Onde f(x) deve ser definida num bloco FUNCTION F(x) ... END FUNCTION F.
O resto depende de onde e para que queremos calcular a derivada.
Exemplo
Como demonstração, usaremos a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} dada por
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x^2) e^{x/3}}{\sqrt{x^2+4}}.}
Os gráficos abaixo ilustram os métodos de derivada à direita (figuras 1 e 2) e derivada centrada (figuras 3 e 4), ambos com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0,6} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 0,4} .
Primeiramente, a figura 1 mostra a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} e a curva em azul representa a derivada de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} .
A figura 2 mostra um zoom no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} para passar pelo ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f(x),x)} .
O exemplo do método de derivada centrada está representado na figura 3. Em vermelho a curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} e em azul a sua derivada.
A figura 4 mostra um zoom com a curva da derivada centrada em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .
Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, as figuras 5 e 6 mostram o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} utilizado.
Na figura 5, a derivada numérica em x=3 em função do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} utilizado. O valor exato da derivada é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(3)=-4.08963} . Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 0.01} a derivada começa a convergir, piorando a partir de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 10^{-6}} . Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.
Na figura 6 vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 8x10^{-5}} parece ser o ótimo.
NOTA: os programa FORTRAN usado para o calculo da derivada esta em Real (ou Real*4, ou seja ponto flutuante em representação de 32 bits). Como seria em dupla precisão (Real*8)?