Teste conv

$\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} f (x, t) = - \int_{S} 𝐉 \cdot d 𝐬 + \int_{V} S (x, t) d V$

$\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} f (x, t) = - \int_{V} (\nabla \cdot 𝐉) d V + \int_{V} S (x, t) d V$

$\int_{V} (\frac{\partial}{\partial t} f (x, t) + \nabla \cdot 𝐉 - S (x, t)) d V = 0$

$\frac{\partial f}{\partial t} = - \nabla \cdot 𝐉 + S (x, t)$

Lei de Fick:

$𝐉 = - D \nabla f$

Onde D é a constante de difusão.

$\frac{\partial f}{\partial t} = - \nabla \cdot (D \nabla f) + S (x, t)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \nabla^{2} f + S (x, t) + v \frac{\partial f}{\partial x}$

Equação da difusão:

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \nabla^{2} f$

Em uma dimensão:

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}$

FTCS (Foward Time Central Space):

$\frac{\partial f}{\partial t} \to \frac{f (x, t + Δ t) - f (x, t)}{Δ t}$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \to \frac{f (x, t + Δ t) + f (x - Δ x, t) - 2 f (x, t)}{Δ x^{2}}$

(Escrever a equação em termos numéricos...)

Teste de establilidade do método FTCS:

Um dos modos de Fourier da solução:

$f_{j}^{n} = A^{n} e^{i q j h}$

$h = Δ x$

$f_{j}^{n + 1} = A^{n + 1} e^{i q j h}$

$f_{j + 1}^{n} = A^{n} e^{i q (j + 1) h}$

$f_{j - 1}^{n} = A^{n} e^{i q (j - 1) h}$

$A^{n + 1} e^{i q j h} = k (A^{n} e^{i q (j + 1) h} + A^{n} e^{i q (j - 1) h} - 2 A^{n} e^{i q j h}) + A^{n} e^{i q j h}$

$k = \frac{D Δ t}{Δ x^{2}}$

$| \frac{A^{n + 1}}{A^{n}} | \leq 1$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + k (e^{i q h} + e^{- i q h} - 2)$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + 2 k [c o s (q h) - 1]$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + 4 k s e n^{2} (\frac{q h}{2})$

$ξ = | \frac{A^{n + 1}}{A^{n}} | = | 1 + 4 k s e n^{2} (\frac{q h}{2}) |$

Na pior hipótese, o seno quadrado é 1.

$ξ = | 1 + 4 k | \leq 1$

$0 < k \leq \frac{1}{2}$

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