Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea. Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos $c_a(x,t)$ e $c_b(x,t)$, respectivamente. Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_a(x,t)+c_b(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_a(x,t)=c(x,t),c_b(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:

$J=-D\mathrm{\nabla }c$

para encotrarmos:

$J=-D\mathrm{\nabla }({\mu }_B-{\mu }_A)$

Onde $D$ é um coeficiente de mobilidade ($compriment{o}^2/tempo)$ e ${\mu }_a$ e ${\mu }_b$ são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais ${\mu }_b-{\mu }_a$ em função da variação de um potencial de energia livre de Gibbs que chamaremos de $\mathrm{{\rm Y}}[c]$:

${\mu }_b-{\mu }_a=\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}[c]}{\delta c}$

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

$J=-D\mathrm{\nabla }\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}(c)}{\delta c}$

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot J$

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}(c)}{\delta c}$

A energia livre de Gibbs $\mathrm{{\rm Y}}[c]$ tipicamente escolhida para a equação é:

$\mathrm{{\rm Y}}(c)=\underset{V}{\overset{}{\int }}f(c)+\kappa |\mathrm{\nabla }c{|}^{2}dV,$

Nessa equação, $$ é chamada de densidade de energia livre devido à contribuições de ambas fases homogêneas; $\kappa |\mathrm{\nabla }c{|}^2$ é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia da interface).

A função $$ tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:

$f(c)=\frac{c^2-1{)}^2}{4}$

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

$n\to \mathrm{\Delta }t$

$j\to \mathrm{\Delta }x$

FTCS Explicito

$\frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_j^{n+1}-f_j^n}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Para difusão:

$f_j^{n+1}=f_j^n+\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n)$

FTCS Implicito (BTCS)

$\frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_j^n-f_j^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^n-2f_j^n+f_{j+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Para difusão:

$f_j^{n+1}=f_j^n+\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(f_{j-1}^{n+1}-2f_j^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})$

Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2(c^3-c-{\gamma }^2{\mathrm{\nabla }}^{2}c)$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(c^3-c-{\gamma }^2\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2})$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D\frac{u_{j-1}^n-2u_j^n+u_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

$\frac{c_j^{n+1}-c_j^n}{\mathrm{\Delta }t}=D(\frac{(c_{j-1}^n{)}^3-2(c_j^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{c_{j-1}^n-2c_i^n+c_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^4})$

$c_j^{n+1}=D\mathrm{\Delta }t(\frac{(c_{j-1}^n{)}^3-2(c_i^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{c_{j-1}^n-2c_j^n+c_{j+1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^4})+c_j^n$

$c_j^{n+1}=\frac{D\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}((c_{j-1}^n{)}^3-2(c_i^n{)}^3+(c_{j+1}^n{)}^3-c_{j-1}^n-2c_j^n+c_{j+1}^n-{\gamma }^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n+6c_j^n-4c_{j+1}^n+c_{j+2}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2})+c_j^n$