Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanetti, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas densidades $c_a(x,t)$ e $c_b(x,t)$, respectivamente. Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_a(x,t)+c_b(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_a(x,t)=c(x,t),c_b(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, o fluxo correspondente pode ser determinado como:

$J=-M\mathrm{\nabla }({\mu }_B-{\mu }_A)$

Onde $M$ é um coeficiente de mobilidade e ${\mu }_a$ e ${\mu }_b$ são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais ${\mu }_b-{\mu }_a$ em função da variação de um potencial de energia livre que chamaremos de $\mathrm{{\rm Y}}[c]$:

${\mu }_b-{\mu }_a=\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}[c]}{\delta c}$

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

$J=-M\mathrm{\nabla }\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}[c]}{\delta c}$

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }.J$

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=\mathrm{\nabla }.M\mathrm{\nabla }\frac{\delta \mathrm{{\rm Y}}[c]}{\delta c}$