Equações de Laplace e Poisson

Grupo: Augusto M Giani e Henrique Padovani

O objetivo deste trabalho é implementar os métodos de Relaxação, Gauss-Seidel e SOR (Simultanoeus OverRelaxation) em problemas de eletroestática, resolvidos pelas equações de Laplace e Poisson. Também temos como objetivo comparar seus resultados: erro entre os métodos e a solução analítica, tempo para estabilização das soluções.

Equações de Laplace e Poisson

A Equação de Laplace descreve o Potencial Elétrico ($\Phi$) de uma determinada região num espaço que não possui nenhuma densidade de carga elétrica (corpo carregado):

$\nabla ^{2}\Phi =0$

ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=0$

Quando neste determinado espaço, delimitado pelas condições de contorno, existe uma densidade de carga, o campo $\Phi$ já não se iguala mais à zero, mas sim à densidade de cargas dentro daquela região, sendo descrito agora pela Equação de Poisson: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$ ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {d^{2}\Phi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\Phi }{dy^{2}}}={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$