Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_u$ e $D_v$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

$\frac{\partial u}{\partial t}=a(u-h)+b(v-k)+D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

$\frac{\partial v}{\partial t}=c(u-h)+d(v-k)+D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_t=D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u+f(u,v)$

$v_t=D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_u=D_v=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_t{|}_{u=k}=0=v_t{|}_{v=h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_1,u_1)$ e $(v_2,u_2)$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

$a(u_1-u_2)+b(v_1-v_2)=0$

$c(u_1-u_2)+d(v_1-v_2)=0$

Consequentemente, devemos ter

$(b-\frac{ad}{c})(v_1-v_2)=0⟹v_1=v_2$.

Do mesmo modo, $u_1=u_2$. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz

$(J-D{\omega }^2){|}_{f=f_{eq}}$

Onde $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações.

Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em $t$ de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica $f(r,t)$

$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{f(r,t+dt)-f(r,t)}{dt}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}=\frac{f(r+dr,t)-2f(r,t)+f(r-dr,t)}{d{r}^2}$

Onde $\overrightarrow{r}$ é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, $\overrightarrow{r}=(x,y)$.

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(r,t)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(r,t)=\frac{f(x+dx,t)-2f(r,t)+f(x-dx,t)}{d{x}^2}+\frac{f(y+dy,t)-2f(r,t)+f(y-dy,t)}{d{y}^2}$

Ao tomarmos $dx=dy=dh$, que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(r,t)=\frac{f(x+dh,t)+f(x-dh,t)+f(y+dh,t)+f(y-dh,t)-4f(r,t)}{d{h}^2}$

Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^n+[a(u_{i,j}^n-h)+b(v_{i,j}^n-k)+D_u\frac{u_{i+1,j}^n+u_{i-1,j}^n+u_{i,j+1}^n+u_{i,j-1}^n-4u_{i,j}^n}{d{h}^2}]dt$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^n+[c(u_{i,j}^n-h)+d(v_{i,j}^n-k)+D_v\frac{v_{i+1,j}^n+v_{i-1,j}^n+v_{i,j+1}^n+v_{i,j-1}^n-4v_{i,j}^n}{d{h}^2}]dt$

Onde $i$ e $j$ são os índices espaciais e $n$ é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho $L\times L$ com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio $(u,v)=(h,k)$ e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo $[-0,003:0,003]$. Tomamos $dh=1/L$.