Gás de Rede 2D

De Física Computacional
Revisão de 19h13min de 16 de agosto de 2020 por Pedhmendes (discussão | contribs)
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EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} partículas da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = {\sigma_1, \sigma_1, \dotsc, \sigma_N}} onde cada sítio da rede pode assumir o valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , ocupado por uma partícula, ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} , não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} \sigma_i \sigma_j}

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é a constante de interação entre as partículas, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \geq 0} a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} \sigma_i = \rho L^2}

Fazendo uma mudança de variáveis da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = 2 \sigma_1 - 1} saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising [1], spins Up e Down. A variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} assume valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +1} (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} (s_i + 1)(s_j + 1)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - \frac{1}{2} z \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i - \frac{1}{2} z \epsilon L^2 }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} s_i = (2\rho - 1) L^2}

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - z \epsilon L^2 \rho }

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} são constantes, o segundo termo é constante. Definindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = \epsilon / 4} o Hamiltoniano se torna

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j + \text{constante}}

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado, como veremos mais tarde [2]. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.


Implementação

Resultados

Programas Utilizados

Programas na linguagem C

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante


Referências

  1. ↑ https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D
  2. ↑ M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
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