Modelo de Potts

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts a $q$ estados são considerados $N$ spins $s_{i}$ dispostos em uma rede, geralmente bidimensional retangular, cada spin podendo estar em um dos $q$ estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, $\delta (s_{i},s_{j})$ é a função delta de Kronecker que retorna $1$ se $s_{i}=s_{j}$ e retorna $0$ para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares $(i,j)$ de spins vizinhos.

No caso ferromagnético, $J>0$, o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual a $q$, correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

Relação com o modelo de Ising

É importante notar que para $q=2$ o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento ${\frac {J}{2}}$ a menos de uma constante aditiva $\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}$ no Hamiltoniano.

$H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

nesse caso os spins $s_{i}$ e $s_{j}$ têm apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_{i},s_{j})-1={\begin{cases}1,\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\-1,\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$

logo considerando como valores possíveis para os spins $\{s_{i},s_{j}\}$ como $-1$ ou $1$ encontramos

$H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}s_{i}s_{j}$

Simulação Monte Carlo

Simulação Monte Carlo com algoritmo do banho térmico para uma rede retangular $256\times 256$ com $q=10$ e $T=0.5{\text{J}}$ utilizando uma temperatura inicial infinita: podemos notar a formação de clusters de spins em baixa temperatura.

Simulação Monte Carlo com algoritmo do banho térmico para uma rede retangular $256\times 256$ com $q=10$ e $T=1.0{\text{J}}$: em alta temperatura, a formação de clusters não é observada.

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com $q$ pequeno é, naturalmente, similar àquela utilizada para o modelo de Ising: seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de $q$ esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Eficiência do algoritmo de Metropolis

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimo para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts, devemos relembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

• Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
• Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica $P(\mu \rightarrow \nu )$ vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição ${p_{\mu }}$.

$p_{\mu }P(\mu \rightarrow \nu )=p_{\nu }P(\nu \rightarrow \mu )$

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

$p_{\mu }={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{\mu }}$

onde $Z$ é a função de partição e $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado $P(\mu \rightarrow \nu )$ como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado $g(\mu \rightarrow \nu )$ (a probabilidade de considerar $\nu$ como o próximo estado na cadeia dado o estado atual $\mu$) e uma probabilidade de aceitação de transição $A(\mu \rightarrow \nu )$

$P(\mu \rightarrow \nu )=g(\mu \rightarrow \nu )A(\mu \rightarrow \nu )$

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

$g(\mu \rightarrow \nu )={\frac {1}{N}},\quad \forall \mu ,\nu$

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

${\frac {A(\mu \rightarrow \nu )}{A(\nu \rightarrow \mu )}}={\frac {p_{\nu }}{p_{\mu }}}=e^{\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}$

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

$A(\mu \rightarrow \nu )={\begin{cases}e^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })},\quad {\text{se }}E_{\nu }>E_{\mu }\\1,\quad {\text{caso contrario}}\end{cases}}$

Exemplo: rede bidimensional retangular com $q=100$. Um spin cercado por vizinhos de valores diferentes, a probabilidade de o sistema trocar para um estado de menor energia é $4/100=4\%$, logo teremos que esperar em média $25$ passos para a simulação avançar.

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts, que admite um número elevado de estados possíveis para o spin, é evidenciado quando consideramos um sistema a baixas temperaturas. Para altas temperaturas, a probabilidade de aceitação é unitária ou suficientemente alta por conta de um $\beta$ pequeno tornando o algoritmo eficiente. Entretanto a baixas temperaturas, os spins tendem a se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo. Se imaginarmos um spin no estado $s_{i}$ cercado por vizinhos de valores diferentes, seguindo o algoritmo de Metropolis, seja qual for o valor $s_{i}'$ selecionado uniformemente para o novo estado desse spin a probabilidade de aceitação é $A(\mu \rightarrow \nu )=1$ pois essa troca de spin vai diminuir a energia do sistema (quando $s_{i}'$ for estado de um spin vizinho) ou, no máximo, manter constante a energia do sistema ($s_{i}'$ continua sendo diferente de todos os spins vizinhos). Com isso, temos uma probabilidade ${\frac {z}{q}}$ de o sistema trocar para um estado de menor energia, onde $z$ é número de coordenação da rede, aumentando muito o tempo necessário para o sistema entrar em equilíbrio.

De maneira similar, se um spin tem o mesmo estado de um de seus vizinhos, teremos $z$ novos estados $\nu$ com taxa de aceitação unitária enquanto todos outros $q-z$ estados terão uma taxa de aceitação muito baixa (dependendo da temperatura) resultando em uma probabilidade de transição pouco maior que $z/q$, novamente atrasando a simulação.

Algoritmo do banho térmico

Uma solução possível para o problema apresentado é utilizar o algoritmo de banho térmico, que também troca o estado de um spin por vez mas utiliza uma técnica diferente para satisfazer a condição do balanço detalhado. Diferentemente do algoritmo de Metropolis, onde a probabilidade de seleção $g(\mu \rightarrow \nu )$ é uniforme e a probabilidade de aceitação $A(\mu \rightarrow \nu )$ obedece uma dada lei resultando em uma probabilidade de transição $P(\mu \rightarrow \nu )$ que respeita a condição, no algoritmo do banho térmico a taxa de aceitação é unitária

$A(\mu \rightarrow \nu )=1,\quad \forall \mu ,\nu$

e a taxa de seleção é baseada nos pesos de Boltzmann (peso não nulo inclusive para o estado atual do sistema)

$g(\mu \rightarrow \nu )\propto e^{-\beta E_{\nu }}\propto p_{\nu },\quad \forall \mu ,\nu$

resultando automaticamente numa probabilidade de transição que respeita o balanço detalhado.

Esse algoritmo é muito mais eficiente para sistemas com alto grau de degenerescência, como o modelo de Potts com grau $q$ elevado.

Testes numéricos

$q=2$, rede retangular $64\times 64$ com condições de contorno periódicas a uma temperatura $T=2.5{\text{J}}$ ($k_{B}=1$)

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising) e $T=2.5{\text{J}}$: Energia em função do tempo

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising) e $T=2.5{\text{J}}$: Magnetização em função do tempo

Para o modelo de Ising a altas temperaturas, o algoritmo de Metropolis tem uma pequena vantagem, mas para ambos os casos o sistema acaba termalizando em aproximadamente $20{\text{ MCSweeps}}$ (para uma rede com $N$ spins, $1{\text{ MCSweep}}$ é equivalente a $N$ passos Monte Carlo, isto é, evolução suficiente para dar a todos os spins uma chance de trocar de estado).

$q=2$, rede retangular $64\times 64$ com condições de contorno periódicas a uma temperatura $T=0.8{\text{J}}$

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising) e $T=0.8{\text{J}}$: Energia em função do tempo

Simulação Monte Carlo com $q=2$ (Ising) e $T=0.8{\text{J}}$: Magnetização em função do tempo

Para o modelo de Ising a baixas temperaturas, encontramos seu comportamento ferromagnético e ambos os algoritmos são quivalentes.

$q=10$, rede retangular $64\times 64$ com condições de contorno periódicas a uma temperatura $T=0.8{\text{J}}$

Simulação Monte Carlo com $q=10$ e $T=0.8{\text{J}}$: Energia em função do tempo

Simulação Monte Carlo com $q=10$ e $T=0.8{\text{J}}$: Magnetização em função do tempo

Quando $q=10>z$ podemos notar a diferença entre os algoritmos com banho térmico termalizando em $50{\text{ MCSweeps}}$ enquanto Metropolis leva pouco menos de $200{\text{ MCSweeps}}$.

Códigos utilizados

Modelo de Potts

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.