Modelo Sznajd

Introdução

O Modelo de Sznajd ou United we stand, divided we fall (USDF) é um modelo recente, proposto em 2000 para entender a dinâmica de opiniões através da física estatística. No ponto de vista de um físico, o comportamento de indivíduos a as interações entre eles constituem um nível microscópico de um sistema social. O modelo introduz o fenômeno chamado validação social:

Validação Social: Se duas pessoas compartilham da mesma opinião, os seus vizinhos começarão a concordar com elas.

Discordância Destrutiva: Se as pessoas discordam, os vizinhos começarão a argumentar com elas.

O método e Formulação Matemática

Opinião social é vinda de opiniões individuais, representadas neste modelo por spins de Ising de forma "yes" e "no". A dinâmica segue a relação da validação social:

1. A cada timestep um par de sping $S_{i},S_{i+1}$ são escolhidos para tentar mudar os seus vizinhos mais próximos
2. Se $S_{i}=S_{i+1}$, então $S_{i-1}=S_{i}$ e $S_{i+2}=S_{i}$ (validação social)
3. Se $S_{i}=-S_{i+1}$, então $S_{i-1}=S_{i+1}$ e $S_{i+2}=S_{i}$

No modelo, dois tipos de estados estacionários são alcançáveis: consenso completo(ferromagnético) e impasse(antiferromagnético). A principal diferença para o Ising é que a informação flui para fora. O modelo de Sznajd ou USDF tem sido modificado e utilizado em marketing, política e finanças.

Modificações

Fala-se que o estado antes mencionado, o antiferromagnetismo, pode ser considerado não realístico para representar o comportamento de indivíduos em uma sociedade. Para tentar evitar este caso, propõe-se o seguinte:

1. A cada timestep um par de sping $S_{i},S_{i+1}$ são escolhidos para tentar mudar os seus vizinhos mais próximos igual anteriomente
2. Se $S_{i}=S_{i+1}$, então $S_{i-1}=S_{i}$ e $S_{i+2}=S_{i}$ (validação social)
3. Se $S_{i}=-S_{i+1}$, então $S_{i-1}=S_{i}$ e $S_{i+2}=S_{i}$

Estas regras ficaram conhecidas como algo do tipo: "Se você não sabe o que fazer, ou faz nada ou faz qualquer coisa." É um tanto quanto óbvio que o modelo unidimensional não representa bem um sistema social e que modelos bidimensionais são bem mais realistas. Algo interessante mencionar é a atualização simultânea para sistemas de duas dimensões: uma atualização simultânea leva a uma muito maior dificuldade de atingir o estado de consenso total. Isso foi mostrado por Stauffer e a razão para isso é que alguns recebem simultaneamente distintas informações de diferentes vizinhos, o que leva a não aceitar a opinião.

Regras para rede quadrada $L$x$L$:

1. Se conjunto 2x2 de 4 vizinhos não tiverem todos os seus spins paralelos, deixam os seus oito vizinhos sem .# Um par de vizinhos convence seus seis vizinhos a seguirem a sua orientação se o par de spins for paralelo.

A regra de atualização para duas dimensões pode ser obtida pela regra em uma dimensão: A regra e 1D é aplicada para cada uma das 4 cadeias de spins, como mostra a próxima figura:

Isto foi mostrado por Galam

Generalização

Para a generalização desse método para a rede quadrada $L$x$L$ onde cada spin pode estar para cima ou para baixo e utiliza-se condições periódicas de contorno. As regras esquematizadas:

$I.$ Um conjunto 2x2 de quatro vizinhos é escolhido e se todos não forem paralelos, deixa os seus oito vizinhos sem mudanças. Se não, seguem duas regras:

1. $I_{a}$ Os vizinhos seguem a orientação do conjunto.
2. $I_{b}$ Os vizinhos seguem a orientação oposta ao conjunto.

$II.$ Um par vizinho tenta convencer seus seis vizinhos a seguir a orientação do par apenas se o par tiver spins paralelos. Caso contrário, seguem três regras horizontais mas com regras verticais completamente análogas:

1. $II_{a}$ Os vizinhos não mudam.
2. $II_{b}$ Os três vizinhos da esquerda seguem a orientação do spin da esquerda do par e os três da direita seguem o spin da direita.
3. $II_{c}$ Os três vizinhos da esquerda seguem a orientação do spin da direita do par e os três da direita seguem o spin da esquerda (oposto a anterior).

$III.$ A regra de 1D é aplicada para cada uma das quatro linhas de quatro spins cada.

Regra $I_{a}:$ pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo.

Regra $I_{b}:$ sem pontos fixos.

Regra $II_{a}$ e $II_{b}:$ pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo.

Regra $II_{c}:$ Para L par ten-se ou tudo para cima ou para baixo. Para L ímpar também a o ponto antiferromagnético

Regra $III:$ pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo com L ímpar.

Aplicações

O modelo de Sznajd pode ser utilizado em política, marketing e finanças. Um caso especial está em .

Reproduzimos o modelo mostrado no paper, usando uma rede quadrada $N$x$N$ com $N=1000$. Ao invés de usar um modelo de spin (-1 ou 1), o modelo simula eleições brasileiras, usando um número de políticos escolhido como $N_{p}=600$. Usando a condição de seleção $II_{a}$, cada vez que dois vizinhos tem a mesma opinião, todos os seus 6 vizinhos adquirem a mesma opinião.

Nossa condição inicial é montada selecionando todos os eleitores aleatoriamente, dando-os uma probabilidade $P={\frac {n^{2}}{N^{2}}}$ de escolher um candidato $n$. Ao escolher um candidado, ele tem uma mesma probabilidade $P$ de tentar convencer seus vizinhos ($P$ nesse caso age como o poder de convencimento de um candidato). Na imagem podemos ver a distribuição de votos por politico, que segue uma lei de potências.

Em seguida, realizamos passos de Monte Carlo, selecionando aleatóriamente $N^{2}$ eleitores (que podem se repetir) e os fazemos tentar convencer um de seus 4 vizinhos, seguindo a mesma regra.

Nosso modelo tenta estudar a fase de transição do modelo (passos de Monte Carlo $1<<t<<10^{5}$), dado que num processo eleitoral os votos não atingem um equilíbrio. A imagem mostra a distribuição desses votos.

Após essa distribuição, podemos estudar como se dividem os votos. A imagem mostra a distribuição acumulada dos votos, em azul logo após a distribuição inicial (lei de potência com inclinação -1/2), e após os passos de Monte Carlo (com inclinação -1). Vemos que muitos poucos candidatos recebem a maioria dos votos, fato que concorda com o caso real.

Uma maneira de visualizar o processo é vendo o que acontece em uma rede quadrada 50x50 com 6 candidatos. O sistema converge para um candidato dominando devido ao tamanho da rede. Para uma rede maior, há uma competição entre vários candidatos dentro do limite de transição.