Mínimos Quadrados
Este o nome que se da ao ajuste ou fitting de uma função (polinômio) a um conjunto de dados.
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X_i, Y_i)}
com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1, N}
representam o conjunto de dados (N) obtidos de um experimento (instrumento) ou
de uma observação (pesquisa de opinião ou censo) ou de uma simulação numérica.
E se suspeitamos que existe uma correlação entre os X (variável independente ou de entrada, controlada pelo experimento)
e os Y (cuja dependência com X queremos testar), primeiro colocamos os pontos num gráfico para ver se o conjunto forma
uma nuvem dispersa (quando não existe correlação aparente, isto é X e Y não conformam uma função), ou se existe
correlação (os pontos parecem estar sobre alguma curva).
Depois o seguinte a fazer é o ajuste de mínimos quadrados:
Suponhamos que a relação aparente entre Y e X é linear:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = a + bX\;}
ou seja que para cada i:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_i = a + b X_i\;}
Definimos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi = \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)^{2}}
Se a relação linear entre Y e X fosse exata o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi} seria zero. Mas, como se trata de valores provenientes de um experimento, mesmo sendo essa a relação entre eles, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi} não será zero. Entretanto os valores de {a, b} que procuramos são aqueles que minimizam o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi} . Isto não mostra o caminho para encontrar esses coeficientes:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial\chi}{\partial a} = \frac{\partial\chi}{\partial b} = 0}
o que nos leva a:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^N 2 (Y_i - a - b X_i)(-1) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)= 0}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^N 2 (Y_i - a - b X_i)(-X_i) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^N (Y_i X_i - a X_i - b X_i^2)= 0}
Definindo a seguinte notação:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [1] = \sum_{i=1}^N 1 = N; \;\;\; [X] = \sum_{i=1}^N X_i; \;\;\; [Y] = \sum_{i=1}^N Y_i }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [XY] = \sum_{i=1}^N X_i Y_i; \;\; [X^2] = \sum_{i=1}^N X_i^2 }
Temos as duas equações que determinam os valores de {a.b}:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} a[1] + b[X] & = &[ Y] \\ a[X] + b[X^2] & = & [XY] \end{bmatrix}}
Ou seja, um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas (a e b) em termos dos valores [1], [x], etc.
Em forma matricial:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} a & [1] & [X] & = & [Y] \\ b & [X] & [X^2] & = & [XY] \end{matrix} }
Os valores a eb são obtidos resolvendo os determinantes correspondentes, ficando assim:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle det = [1][X^2] - [X]^2}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = [Y][X^2] - [XY][X] / det}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = [1][XY] - [X][Y] / det}