Integração Numérica

Integração numérica é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da integral definida:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

O termo definida, quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso a e b.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

1. existência de funções contínuas sem primitiva, o que inviabiliza a conta analítica.
2. funções discontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
3. funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
4. funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

Definição

Revisemos o conceito de integral do cálculo: A integral definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{N}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva.
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

$\sum _{i=0}^{N}f(x_i)\mathrm{\Delta }x.$

onde:

$\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{N}$

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), $f(x_i)$ é o valor da função em algum ponto deste intervalo.
Quando $N\to \mathrm{\infty }$ o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:

$\int f(x)dx=F(x)\iff \frac{dF(x)}{dx}=f(x)$

Relembremos porque:

Teorema Fundamental do Cálculo

Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre $x$ e $x+\mathrm{\Delta }x$:

$\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(x^{\prime })d{x}^{\prime }=F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)$

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrever-la como:

$\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(x^{\prime })d{x}^{\prime }=f(x^{″})\mathrm{\Delta }x=F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)$

onde $x^{″}$ é um valor de $x$ entre os extremos do intervalo.

Passando o $\mathrm{\Delta }x$ para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(x^{″})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)}{\mathrm{\Delta }x}\Rightarrow f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o Teorema fundamental do Cálculo diz que resolver uma integral se resume a achar a primitiva, ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.. Vejamos então.

Cálculo Numérico

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{N}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$

onde:

$\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{N}$

Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor, mas será sempre finito.
Dependendo de onde são avaliados os $x_i$ termos diferentes versões da integral numérica. Exemplo:

$x_i=a+i\mathrm{\Delta }x$, com i=0,...N-1 é a integral pela borda inferior do intervalo $\mathrm{\Delta }x$

Programação

...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N;  S=0

Do i = 0, N-1
   x = a + i*dx
   S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...