Grupo - Modelo de Potts

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à $q$ estados são considerados $N$ spins $s_i$ dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de $q$ estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

$H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, $\delta (s_i,s_j)$ é a função delta de Kronecker que retorna $1$ se $s_i=s_j$ e retorna $0$ para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares $(i,j)$ de spins vizinhos.

No caso ferromagnético $J>0$ o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à $q$ correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

É importante remarcar que para $q=2$ o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento $\frac{J}{2}$ a menos de uma constante aditiva $\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}$ no Hamiltoniano.

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}(2\delta (s_i,s_j)-1)$

nesse caso os spins $s_i$ e $s_j$ tem apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_i,s_j)-1=\{\begin{array}{l}1,\text{se }{s}_i=s_j\\ -1,\text{se }{s}_i\ne s_j\end{array}$

logo considerando como valores possíveis para os spin como $-1$ e $1$ encontramos

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}{s}_i{s}_j$

Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com $q$ pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de $q$ esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Amostragem por importância

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

• Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
• Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica $P(\mu \to \nu )$ vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição $p_{\mu }$.

$p_{\mu }P(\mu \to \nu )=p_{\nu }P(\nu \to \mu )$

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

$p_{\mu }=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta E_{\mu }}$

Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado $g(\mu \to \nu )$, a probabilidade de considerar $\nu$ como o próximo estado na cadeia dado o estado atual $/mu$, e uma probabilidade de aceitação de transição $A(\mu \to \nu )$

$P(\mu \to \nu )=g(\mu \to \nu )A(\mu \to \nu )$

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

$g(\mu \to \nu )=g(\nu \to \mu )=\frac{1}{N}\mathrm{\forall }\mu ,\nu$

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

$\frac{A(\mu \to \nu )}{A(\nu \to \mu )}=\frac{p_{\nu }}{p_{\mu }}=e^{\beta (E_{\nu }-E_{\mu })}$

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

$A(\mu \to \nu )=\{\begin{array}{l}{e}^{-\beta (E_{\nu }-E_{\mu })},\text{se }{E}_{\nu }>E_{\mu }\\ 1,\text{caso contrario}\end{array}$

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.