Spline cúbico

Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1^a e 2^a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.

Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear $P_i(x)$, válida entre os pontos $X_i$ e $X_{i+1}$, obtida a partir da Fórmula de Lagrange:

$P_i(x)=Y_i{A}_i(x)+Y_{i+1}{B}_i(x),$

onde

$A_i(x)=\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i}\text{ e }{B}_i(x)=\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}$

foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2^a é infinita nas fronteiras entre $X_i$ e $X_{i+1}$, devido à descontinuidade da derivada 1^a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos $(X_i,Y_i)$ e $(X_{i+1},Y_{i+1})$ possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1^a no intervalo $(X_i,X_{i+1})$, a derivada segunda é nula nesta região.

Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:

$S_i(x)=Y_i{A}_i(x)+Y_{i+1}{B}_i(x)+Y^{\prime }{\text{'}}_i{C}_i(x)+Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}{D}_i(x).$

Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores $\{(X_i,Y_i)\}$, a derivada segunda em cada ponto $Y^{\prime }{\text{'}}_i$ aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções $C_i(x)\text{ e }{D}_i(x)$ precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que $S_i(X_i)=Y_i$. Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de $C_i(x)\text{ e }{D}_i(x)$ já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:

$C_i(x)=\frac{1}{6}A(x)[A^2(x)-1]{[X_{i+1}-X_i]}^2\text{ e }{D}_i(x)=\frac{1}{6}B(x)[B^2(x)-1]{[X_{i+1}-X_i]}^2$

asseguram que $S_i(X_i)=Y_i$, uma vez que

$C_i(X_i)=D_i(X_i)=C_i(X_{i+1})=D_i(X_{i+1})=0$

pois

$A_i(X_i)=B_i(X_{i+1})=1\text{ e }{A}_i(X_{i+1})=B_i(X_i)=0.$

Com a introdução destes termos, a derivada de $S_i(x)$ torna-se:

$\frac{d{S}_i(x)}{dx}=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_i}{6}[3A_i^2(x)-1](X_{i+1}-X_i)+\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}}{6}[3B_i^2(x)-1](X_{i+1}-X_i)$

trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em $x$, além do termo associado à reta secante. A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:

$\frac{d^2{S}_i(x)}{d{x}^2}=Y^{\prime }{\text{'}}_i{A}_i(x)+Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}{B}_i(x)=Y^{\prime }{\text{'}}_i\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i}+Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i},$

com uma dependência linear em $x$. Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, $Y^{\prime }{\text{'}}_i$, resolvendo os problemas mencionados acima.

Para obtermos os valores de $\{Y^{\prime }{\text{'}}_i\}$, impomos a continuidade da derivada 1^a nas fronteiras entre $X_{i-1}$ e $X_i$:

$\frac{d{S}_{i-1}(X_i)}{dx}=\frac{d{S}_i(X_i)}{dx}.$

Usando as propriedades $A_{i-1}(X_i)=B_i(X_i)=0$ e $A_i(X_i)=B_{i-1}(X_i)=1$, obtemos

$\frac{Y_i+-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}+\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1})+\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_i}{3}(X_i-X_{i-1})=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_i}{3}(X_{i+1}-X_i)-\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i)$

que, apos agrupar os termos convenientemente, nos leva a

$\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1})+\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_i}{3}(X_{i+1}-X_{i-1})+\frac{Y^{\prime }{\text{'}}_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i)=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}.$

Uma vez que em um conjunto de $N$ pontos temos $N-2$ fronteiras internas, os valores de $Y^{\prime }{\text{'}}_1$ e $Y^{\prime }{\text{'}}_N$ permanecem indeterminados. Eles devem ser obtidos a partir da física do problema tratado. Em geral, os programas gráficos encontrados nas diferentes plataformas usam $Y^{\prime }{\text{'}}_1=Y^{\prime }{\text{'}}_N=0$. Porém, esta não é a única possibilidade. De fato, quaisquer combinações das condições

$Y^{\prime }{\text{'}}_1={\lambda }_1\text{ ou }Y{\text{'}}_1={\zeta }_1$

e

$Y^{\prime }{\text{'}}_N={\lambda }_2\text{ ou }Y{\text{'}}_N={\zeta }_2$

são perfeitamente possíveis, desde que sejam consistentes com a física do problema. Se os vínculos sobre as derivadas forem escolhidos, a expressão para $\frac{d{S}_1(X_1)}{dx}={\zeta }_1$ ou $\frac{d{S}_{N-1}(X_N)}{dx}={\zeta }_2$ leva, respectivamente, a relações entre $Y^{\prime }{\text{'}}_1$ e $Y^{\prime }{\text{'}}_2$ ou $Y^{\prime }{\text{'}}_{N-1}$ e $Y^{\prime }{\text{'}}_N$. A obtenção destas relações é deixada como exercício.

Deve ser observado que a solução do problema envolve a resolução de um sistema de $N-2$ equações lineares acopladas. Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:

$\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1N}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{N1}& b_{N2}& \cdots & b_{NN}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{Y}^{\prime }{\text{'}}_1\\ Y^{\prime }{\text{'}}_2\\ ⋮\\ Y^{\prime }{\text{'}}_N\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ ⋮\\ f_N\end{array}\right)$

onde

$f_i=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}},i>1\text{ e }i<N.$

$b_{1i}=0i>2\text{ e }{b}_{Ni}=0i<N-1$

e os demais elementos são apresentados logo abaixo.

Deste modo, a obtenção de $\{Y^{\prime }{\text{'}}_i\}$ requer a inversão de uma matriz, o que é uma tarefa custosa e delicada numericamente (veja, por exemplo, Numerical Recipes). Uma vez que a equação para a i-ésima fronteira envolve apenas $Y_{i-1},Y_i\text{ e }{Y}_{i+1}$, somente as três diagonais principais da matriz acima são não nulas, isto é, $\mathbf{𝐛}$ é uma matriz tri-diagonal. Assim, os elementos de $\mathbf{𝐛}$, excluindo-se aqueles associados às fronteiras, são dados por:

$b_{i,i-1}\equiv b_i^{-}=\frac{1}{6}(X_i-X_{i-1}),$

$b_{i,i}\equiv b_i^0=\frac{1}{3}(X_{i+1}-X_{i-1})$

$b_{i,i+1}\equiv b_i^{+}=\frac{1}{6}(X_{i+1}-X_i).$

Caso os vínculos nas fronteiras sejam impostos sobre $Y^{\prime }{\text{'}}_1$ e $Y^{\prime }{\text{'}}_N$, temos

$b_{1j}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }j=1\\ 0,& \text{se }j>1\end{array}$

e

$b_{Nj}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }j=N\\ 0,& \text{se }j<N\end{array}$

com $f_1={\lambda }_1\text{ e }{f}_N={\lambda }_2$ sendo os valores impostos sobre a derivada segunda nos pontos $X_1$ e $X_N$, respectivamente. Mais uma vez, o caso em que as condições são impostas sobre a derivada 1^a é deixado como exercício.

Sendo $\mathbf{𝐛}$ uma matriz tri-diagonal, a solução do problema é bastante simples e é discutida na seção Eliminação gaussiana e retro-substituição.

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