Grupo - Modelo de Potts

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à $q$ estados são considerados $N$ spins $s_{i}$ dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de $q$ estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, $\delta (s_{i},s_{j})$ é a função delta de Kronecker que retorna $1$ se $s_{i}=s_{j}$ e retorna $0$ para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares $(i,j)$ de spins vizinhos.

No caso ferromagnético $J>0$ o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à $q$ correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

É Importante remarcar que para $q=2$ o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento ${\frac {J}{2}}$ a menos de uma constante aditiva $-\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}$ no Hamiltoniano.

Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com $q$ pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de $q$ esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.