Dedução Leapfrog

Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}$:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=v{\frac {U_{i+1}^{n+1}-U_{i}^{n+1}}{\Delta x}}$

Sabendo que

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i+1}^{n}-U_{i}^{n}}{\Delta x}},$

e

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}},$

podemos escrever equações para $U_{i+1}^{n+1}$, $U_{i}^{n+1}$ e $U_{i+1}^{n}$:

$U_{i+1}^{n+1}=s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i+1}^{n},\qquad (1)$

$U_{i}^{n+1}=s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}\qquad (2)$

e

$U_{i+1}^{n}={\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+U_{i}^{n}.\qquad (3)$

Substituindo as equações (1) e (2) na equação para $k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}$, obtemos:

${\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i+1}^{n})-(s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}).$

Ao substituirmos a equação (3) nessa última equação obtida, obtemos a equação citada no desenvolvimento do Método de Leapfrog, dada por

${\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+{\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+U_{i}^{n}-(s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}).$

E, por fim, dela obtemos a equação para $k$:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+r(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}),$

onde $r={\frac {v\Delta v}{\Delta x}}$.