Derivada Numérica

A derivada numérica permite estimar a derivada de uma função matemática usando os valores da função.

O método numérico se baseia na própria definição de derivada: o limite do quociente incremental da função quando o incremento tende a zero. Matematicamente é mais claro:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}}

Se nessa expressão não tomamos o limite podemos obter uma estimativa numérica da derivada que dependerá do valor do incremento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) \approx {f(x+h)-f(x)\over h}}

A expressão a direita é chamada de quociente diferencial de Newton.

Ao usá-la para calcular a derivada numericamente devemos ser cientes de que não é um cálculo exato. Existem duas fontes de erro nessa expressão, o erro de truncamento e o erro de arredondamento. Para estimar o erro de truncamento recorremos a Formula de Taylor:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + \frac{1}{6}f'''(x)h^3 + ...}

Por tanto:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {f(x+h)-f(x)\over h} = f' + \frac{1}{2}f''h + ...}

Se o $h$ for pequeno podemos dizer que o erro ao usar a quociente de Newton para calcular a derivada é proporcional a $h$. De maneira geral o erro cresce linearmente com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} . Por tanto devemos usar valores pequenos do incremento. No entanto ao fazer a conta numérica temos precisão finita (o numero de casas dos números). Não é possível levar a expressão ao limite teórico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \rightarrow 0} . Então pelo outro extremo aparece o segundo tipo de erro, o de arredondamento. Quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} é muito pequeno, ao fazer a diferença ente os dois valores da função, podemos ter esse erro que vai ser relativamente maior quanto menor for Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} , piorando a estimativa da derivada. Isso coloca um limite inferior para o incremento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} e assim para a precisão da estimativa numérica da derivada.
Resumindo, por um lado temos o erro de truncamento e pelo outro o de arredondamento, a valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro.

Outro cálculo numérico da derivada pode ser feito baseado na declividade de dois pontos próximos, um antes e outro depois do ponto onde queremos avaliar a derivada: (x-h,f(x-h)) e (x+h,f(x+h)).
A declividade da linha definida por esses dois pontos é;

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {f(x+h)-f(x-h)\over 2h}}

que é chamada de derivada centrada.
O erro desta estimativa é menor que na estimativa para frente (ou para atrás).

Existem formas de contornar o problema do valor ótimo de incremento podendo ir a valores menores dele e sim melhorar a estimativa da derivada numérica.

Programa

Implementar a derivada numérica em FORTRAN é apenas uma linha de código:

...
Df = (f(x+h) - f(x))/h
...

Onde f(x) deve ser definida num bloco FUNCTION F(x) ... END FUNCTION F.
O resto depende de onde e para que queremos calcular a derivada.

Exemplos

Com a função f(x) abaixo, a modo de exemplo, a questão do compromisso entre o erro de truncamento e o erro de arredondamento deve-se esclarecer.
A função é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x^2) e^{x/3}}{\sqrt{x^2+4}}}

Com o método descrito acima vamos avaliar numericamente (para frente) a derivada num ponto qualquer, digamos x=3. A continuação figuras mostrando o resultado para vários valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta X} decrescentes num fator 2 partindo de 2. Ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta X = } {2, 1, 1/2, 1/4, ...}

A esquerda a derivada em x=3 numérica em função do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} utilizado. O valor exato da derivada em é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(3)=-4.08963}
Vemos que em volta de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 0.01} começa a convergir, piorando a partir de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 10^{-6}} .
Na figura a direita vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = 8x10^{-5}} parece ser o ótimo.
NOTA: os programa FORTRAN usado para o calculo da derivada esta em Real (ou Real*4, ou seja ponto flutuante em representação de 32 bits).
Como seria em dupla precisão (Real*8)?

Links Externos

• Numerical Differentiation Quant Equation Archive, sitmo
• http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html