Grupo - Tráfego

Integrantes: Rodrigo Zamin Ferreira (262692) e Maurício Gomes de Queiroz (264889)

Introdução

O estudo de caso do comportamento do tráfego urbano se mostra de grande utilidade nos dias atuais, onde metrópoles apresentam grandes volumes de veículos se deslocando pela cidade. Em horários de pico, por exemplo, às 18h, Porto Alegre apresenta média de lentidão de 83km, enquanto São Paulo chega a incríveis 485km.

A modelagem de tal comportamento permite um estudo das regras básicas que motoristas tendem a seguir em situações reais, levando assim a um melhor entendimento da formação e desenvolvimento de congestionamentos, além da obtenção de outras informações interessantes, como a velocidade média em função do número de carros.

Aqui é proposto um modelo simples do funcionamento normal de uma avenida utilizando autômatos celulares, inicialmente com apenas uma faixa, sendo após estendido para n faixas.

Autômatos Celulares

Weimar define um autômato celular em "Simulation with Cellular Automata", informalmente, como um vetor de células sendo caracterizado pelas seguintes propriedades básicas:

• A evolução se dá em passos discretos de tempo;

• Cada célula é caracterizada por um estado pertencente a um conjunto finito de estados;

• Cada célula evolui de acordo com as mesmas regras que dependem somente do estado em que a célula se encontra e de um número finito de vizinhos;

• A relação com a vizinhança é local e uniforme.

Apesar de simples, autômatos celulares (AC) são capazes de simular sistemas dinâmicos complexos e são extensivamente utilizados aqui, onde cada célula representa uma posição na avenida, que pode conter um veículo ou não. Caso contenha um veículo, a célula possui um estado associado a si que representa o índice do veículo, através do qual podemos acessar sua velocidade, a qual pode assumir valores discretos de 0 a um valor máximo; caso contrário, a célula possui um estado que indica que está vazia, sendo utilizado o estado -1 para esse objetivo.

A atualização dos estados é feita de forma não-síncrona (os estados das células são atualizados um após o outro) e homogênea (as regras de atualização não dependem da posição espacial da própria célula, somente da posição relativa dos vizinhos).

A mudança dos estados é feita com base em regras que se baseiam nos estados da vizinhança, tendo também algumas mudanças estocásticas, caracterizando um método de Monte Carlo.

Regras de Aceleração

Estabelecemos as regras de mudança da velocidade com base no artigo de Nagel e Schreckenberg (1992). São três os casos em que um autômato do modelo descrito aqui muda de velocidade:

Regra 1: A velocidade é reduzida caso a distância entre um carro e o veículo que vai à sua frente seja suficientemente pequena para que haja colisão durante a atualização de posições da simulação.

Regra 2: De modo análogo, aumenta-se a velocidade caso a velocidade atual for menor que a máxima e seja suficientemente grande para que não haja colisão durante a atualização de posições da simulação usando a velocidade nova.

Regra 3: É também introduzido no modelo um fator que aleatoriamente reduz a velocidade do veículo, para que seja levado em conta flutuações da velocidade devido ao comportamento humano. Esse passo é essencial, já que sem ele o modelo seria determinístico.

Ou seja, sendo $dist$ a distância entre um carro e o que está à sua frente, e $v$ a velocidade do carro,

Regra 1: Caso $dist\leq v$, então $v\rightarrow dist-1$

Regra 2: Caso $dist>v+1$, então $v\rightarrow v+1$

Regra 3: Com uma probabilidade $p$, $v\rightarrow v-1$

Faixa Única

Gráfico 1: 1 Carro em faixa única

O problema de faixa única, mesmo que simples, gera discussões muito boas quando simulado. O cenário consiste em uma avenida de uma faixa, com $L$ células, com carros que se movem da esquerda para a direita, submetidos às regras citadas anteriormente. Além disso, foram utilizadas condições de contorno periódicas, e os carros foram inicializados em posições aproximadamente equidistantes. Os valores dos parâmetros utilizados foram $L=15$ e $v_{max}=3$.

Uma primeira abordagem, com finalidade situar a simulação, é com um único carro, sem implementação da redução de velocidade randômica (Gráfico 1).

No gráfico ao lado, o carro se desloca, partindo do repouso e com aceleração, até atingir a velocidade máxima, com valor 3, que é mantida no decorrer do tempo. Tal gráfico mostra o funcionamento base dos autômatos e da visualização da evolução temporal dos mesmos.

Gráfico 2: 7 Carros em faixa única

O próximo passo é estendermos o modelo para o caso com 7 carros, isto é, uma densidade de quase 0.5 carros/célula (Gráfico 2). Há uma tendência natural do surgimento de trechos de lentidão, e trechos onde a pista está livre. Esses trechos se propagam, de acordo com a simulação, contra o sentido de movimentação dos carros.

Agora, podemos introduzir a probabilidade de redução de velocidade, em uma situação com dois carros. Percebe-se, por exemplo, no gráfico 3, que o carro iniciado na posição 0 permanece dois passos de tempo com velocidade 0, enquanto o segundo carro já havia mudado de velocidade. Nestes gráficos ainda não há redução de velocidade e congestionamentos, já que a densidade é baixa; porém, ao decorrer do tempo, os carros oscilam sua velocidade entre 3 e 2.

Gráfico 3: 2 Carros em faixa única, com probabilidade de redução de 0.3

Ao aplicarmos a simulação para 5 carros (Gráfico 4), observamos que já há pontos de lentidão, causados pela probabilidade de redução da velocidade e maior densidade de carros.

Finalmente, estendemos o modelo para um sistema com $L=15$, $n_{carros}=60$ e $v_{max}=6$ (Gráfico 5). Juntamos então todas as análise feitas:

Após o início, mesmo deixando $v_{max}=6$, os carros permanecem principalmente com velocidade 1 e 2. Além de trechos grandes de lentidão, trechos menores são espontaneamente criados devido a probabilidade de redução de velocidade. Todos os trechos de lentidão são propagados contra o fluxo dos carros.

Gráfico 4: 5 Carros em faixa única, com probabilidade de redução de 0.3

Gráfico 5: 60 Carros em faixa única, L = 100, com probabilidade de redução de 0.3

Medidas de Velocidade

Por fim, foi medida a velocidade média como função do tempo (fixando a velocidade máxima em 6) e como função da velocidade máxima (sendo medida em $t_{final}=100$) (Gráficos 6 e 7). Em ambos os casos, a velocidade média tende a um valor de equilíbrio. Para o caso do Gráfico 7, inicialmente o aumento da velocidade máxima tem grande impacto na velocidade média, mas a medida que a velocidade máxima aumenta, é atingido um ponto em que o aumento da velocidade máxima não é mais tão significativo para a velocidade média, já que dificilmente os carros atingem velocidades tão altas.

Gráfico 8

Gráfico 9

Com o intuito de fazer uma análise por método de Monte Carlo, somos levados a utilizar grande quantidade de amostragens para obter um resultado, ainda que estimado, mais próximo do real. Aqui são utilizadas 100 000 amostragens e então foi calculada a média da velocidade entre elas. Com mais amostragens reduz-se o ruído, porém o tempo gasto com seu cálculo é significantemente aumentado.

Gráfico 10

Gráfico 11

Faixa Dupla

É natural então, querermos simular o tráfego em uma pista com duas faixas, de mesmo sentido. Permitir que carros troquem faixa, à princípio, tornaria o sistema mais fluido.

Regras de Troca de Faixa

Surge então a necessidade de definir quando permitiremos que uma carro se mude para a faixa ao lado. Apenas definir uma probabilidade para tal evento não faz jus à realidade pois, mesmo que possível, a tendencia não é que pessoas troquem de faixa por motivo algum. Aqui foi utilizada a regra de que, ao reduzir a velocidade devido à falta de distância (ou seja, a regra nº 1), ou se o carro for obrigado a manter sua velocidade, o motorista checa a faixa vizinha, verificando se, caso trocasse de faixa, a distância ao próximo carro é maior do que a distância atual (medindo na faixa em que o carro se encontra), e se a faixa vizinha tem espaço para que a troca de pista ocorra. Se esse for o caso, o motorista troca de pista, e refaz o processo de mudança de velocidade, levando em conta a nova pista em que o carro se encontra.

Simulações Iniciais

Gráfico 12: 5 Carros em faixa dupla, L = 15, com probabilidade de redução de 0.3

Os gráficos a seguir mostram implementações de faixa dupla. Nota-se, caso acompanhar um carro em específico, que ele troca de faixa quando necessário. Como exemplo, tome o carro que inicia na posição 12, no gráfico 12. Do tempo 2 ao 3 ele troca de faixa ao perceber que (lembrando das condições de contorno periódicas) há um carro bloqueando seu caminho.

O mesmo pode ser feito com uma densidade de carros/celula maior.

Gráfico 13: 9 Carros em faixa única, L = 15, com probabilidade de redução de 0.3

Gráfico 14: 60 Carros em faixa dupla, L = 100, com probabilidade de redução de 0.3

N faixas

O programa foi estendido para comportar uma simulação de $N$ faixas. Análises futuras podem, por exemplo, verificar a eficácia da adição de uma faixa à uma avenida, informação valiosa para coordenadores de trafego em uma cidade movimentada que buscam informações sobre custo/benefício de tal obra. Também é possível analisar os impactos da redução de uma faixa, ou do bloqueio de lugares pontuais, comparando diversas simulações.

Bibliografia

https://www.ppgee.ufmg.br/defesas/113M.PDF