Grupo - Ising 2D

Grupo: Ânderson Rosa, Caetano Pires e Lucas Doria.

sepa falar algo aqui tb

Introdução

-talvez falar sobre materiais ferromagnéticos;

-falar sobre os conceitos de mec estatística necessários?;

-falar sobre o sistema de spins (geometricamente)?;

Sobre Mecânica Estatística:

Considera-se um sistema governado por um Hamiltoniano em contato com um reservatório térmico com temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} constante. O reservatório térmico, considerada uma pequena perturbação no sistema, troca energia com o sistema Hamiltoniano fazendo-o visitar diversos níveis de energia enquanto tende à temperatura do $T$ .

Uma forma de tratar essa interação é dando ao sistema uma dinâmica que o fará visitar diversos estados diferentes. Ou seja, a partir de uma dinâmica, o sistema pode passar de um estado $\mu$ para outro estado $\nu$ com uma probabilidade $P(\mu ->\nu )$ , conhecida como taxa de transmissão. Também consideramos o peso $w_{\mu }(t)$ , que é a probabilidade de o estado se encontrar no estado $\mu$ no tempo $t$ . Assim torna-se possível chegar a uma equação mestra capaz de descrever a taxa pela qual o sistema está alcançando um estado $\mu$ :

${\frac {dw_{\mu }}{dt}}=\sum _{\nu }[w_{\mu }(t)P(\nu ->\mu )-w_{\nu }(t)P(\mu ->\nu )]$

Nosso sistema diz respeito a um corpo macroscópico formada por partes microscópicas, e a dinâmica diz respeito a essas últimas partes. Entretanto, também estamos interessados em características macroscópicas que emergem do micro. Dada uma característica $Q$ , que assume o valor $Q_{\mu }$ no estado $\mu$ , podemos calcular o valor esperado (esperança) de $Q$ em um tempo $t$ :

$<Q>=\sum _{\mu }Q_{\mu }w_{\mu }(t)$

Equilibrio:

Consideramos o estado de equilíbrio do sistema, caracterizado por $dw_{\mu }/dt=0$ , ou seja, probabilidade do sistema alcançar um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} é igual à probabilidade de alcançar um estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} .

Denotamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{\mu} = \lim_{t -> \inf} w_{\mu}(t) } como a probabilidade de encontrar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} no estado de equilíbrio. Sabemos que para um sistema em equilíbrio térmico com o reservatório térmico a uma temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} a probabilidade é dada pela distribuição de Boltzmann, como demonstrado por Gibbs (1902):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{\mu} = \frac{1}{Z} e^{-E{\mu}/kT}}

onde Z é a função partição

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z = \sum_{\mu} e^{-E{\mu}/kT} }

sendo assim, podemos encontrar a esperança de uma quantidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} para o sistema em estado de equilíbrio a partir da equação

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <Q> = \frac{1}{Z}\sum_{\mu}Q_{\mu} e^{-E{\mu}/kT}}

Processos de Markov

O Modelo de Ising

A denominação "modelo de Ising" é utilizada para tratar um sistema de psins de Ising ao qual se acopla uma dinâmica que lhe proporciona relaxamento para um estado de equilíbrio. Esse sistema de spins é descrito por uma dinâmica que possui balanceamento detalhado e que o leva a estados estacionários de equilibrio, descritos pela distribuição de Gibbs relacionada à hamiltoniada de Ising.

O modelo de Ising é construido a partir de uma rede de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} spins de Ising com interações entre primeiros vizinhos. Os spins de Ising apontam apenas na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +z} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -z} . Assim, o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} -ésimo spin do sistema pode assumir dois valores, que por conveniência são assumidos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i = \pm 1.} Cada um desses "Ising spins" interage com outros spins do sistema.

Em um material magnético real, a interação é maior entre spins mais próximos. Com essa motivação, uma forma de representar a interação entre os spins do sistema é levar em conta a interação apenas entre um spin e seus vizinhos mais próximos da cadeia de spins. A energia de tal sistema pode ser expressa por^[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = - J \sum_{<ij>} s_i s_j - H\sum_{i} s_i, \qquad (1) }

onde a soma se dá sobre todos os pares de spins mais próximos entre si, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a constante de correlação, que assumimos positiva e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} é um campo magnético externo que atua sobre os spins.

Uma análise qualitativa da expressão para a energia do microestado acima, inicialmente desconsiderando o campo magnético Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , já mostra, por exemplo, que se dois spins são paralelos entre si, a energia de interação entre eles é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -J} . Se os spins são antiparalelos, então o produto dentro da soma é negativo, de forma que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = J.} Portanto, as interações favorecem um alinhamento paralelo entre spins vizinhos, buscando um estado de menor energia.

Embora a energia do sistema seja menor quando todos os spins são paralelos entre si, é preciso considerar o efeito da temperatura sobre o sistema. No modelo estudado em questão, é considerado que o sistema se encontra em equilíbrio com uma fonte de temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , de forma que o comportamento do sistema pode ser estudado a partir do ensemble canônico.[1]

Para um sistema que se encontra em equilíbrio com uma fonte em temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , a probabilidade de encontrar o sistema em um estado particular é proporcional ao fator de Boltzmann ^[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\alpha} \propto e^{-E_{\alpha}/k_b T} \qquad (2) }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{\alpha}} é a energia do estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} correspondente e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_b} a constante de Boltzmann. Cada um desses estados é uma configuração particular do conjunto de spins, chamados microestados do sistema. Portanto, se temos uma cadeia com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} Ising spins, o sistema possui Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{N}} microestados possíveis. Essa interação do sistema com uma fonte à temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} faz com que o sistema passe por transições de um microestado para outro, fazendo com que spins individuais alternem entre +1 e -1 enquanto ganham ou perdem energia devido a fonte.

Uma medida macroscópica do momento magnético total do sistema é chamada de magnetização, e é uma média dos diversos microestados que o sistema visita durante uma medida. O momento magnético de um microestado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{\alpha}} é a soma dos valores dos spins daquele estado em particular. Assim, a magnetização medida é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M = \sum_{\alpha} M_{\alpha} P_{\alpha}, }

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O método do campo médio pode ser utilizado para introduzir algumas propriedades de um sistema de spins, assim como uma primeira análise de transições de fase. Porém seus resultados não são quantitativamente exatos, sendo necessária uma abordagem diferente ao problema para fins de resultados melhores (ver seção sobre o método Monte Carlo).

A magnetização do sistema está relacionada ao alinhamento de spin médio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <s_i>} . A magnetização total a uma temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} para um sistema de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} spins é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M = \sum_i <s_i> = N <s_i>, }

Se adicionarmos um campo magnético ao problema, a função de energia do sistema se torna

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = -J \sum_{<ij>} s_i s_j - \mu H \sum_i s_i, }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} representa o campo magnético e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} o momento magnético associado com cada spin. Este campo faz com que os spins tendam a se orientar paralelamente a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , visto que isso diminui a energia. Para obter a aproximação de campo médio, consideramos que o sistema é constituído de um único spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} , de tal forma que a única energia envolvida é a energia de campo. As probabilidades de encontrar o sistema de um único spin nos seus dois possíveis estados são dadas por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} P_+ = C e^{+\mu H/k_b T},\\ P_- = C e^{-\mu H/k_b T}, \end{cases} }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} é um coeficiente que pode ser determinado tomando a condição de que as duas probabilidades se somem a 1. Portanto,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = \frac{1}{e^{+\mu H/k_b T} + e^{-\mu H/k_b T}}, }

A média de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} pode ser calculada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <s_i> = \sum_{s_i = \pm 1} s_i P_{\pm} = P_+ - P_- = \tanh(\mu H/k_b T). }

O Método de Monte Carlo

Método de Metropolis

Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações de acordo com a probabilidade (2), utilizaremos o algoritmo de dinâmica estocástica chamado método de Metropolis. Nesse método, utilizamos um conjunto de probabilidades Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\mu \rightarrow \nu)} ,uma para cada conjunto de transições de estados, e então escolhemos um conjunto de probabilidades de aceitação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} . O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com nossa probabilidade de aceitação. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado. É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza do método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente. Vamos supor que tenhamos os estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} e que temos a relação de energias: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_\mu < E_\nu} . Então, a maior das duas chances de aceitação é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Utilizando a equação (2), comparamos a razão das probabilidade de transição dos estados:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P(\mu \rightarrow \nu)}{P(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{g(\mu \rightarrow \nu)A(\mu \rightarrow \nu)}{g(\nu \rightarrow \mu)A(\nu \rightarrow \mu)}=\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}.}

Para que isso seja respeitado, iremos então definir o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}} . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases} e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad \text{se } \Delta E > 0\\\\ 1 \qquad \qquad \text{Caso contrario}. \end{cases}}

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Implementação

Para a implementação do método, utilizaremos uma matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L\times L} com condições de contorno periódicos, i.e., faremos com que os vizinhos de uma fronteira da matriz sejam os spins na outra fronteira correspondente. Isso irá garantir que todos os spins tenham o mesmo número de vizinhos e a mesma geometria local. Cada spins da matriz poderá assumir apenas os valores de 1 e -1, representando a magnetização desse spin. Para o estado inicial do sistema, podemos escolher entre duas opções muito utilizadas: Ou determinamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=0} e todos os spins, portanto, estarão alinhados na mesma direção, ou assumimos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=\infty} , o que garantirá que o sistema tenha energia infinita e, portanto, teremos uma configuração aproximadamente aleatória garantido uma magnetização média do sistema como aproximadamente 0. Uma boa estratégia para otimizarmos a simulação é calcular a energia total do sistema no estado inicial utilizando a equação (1) e durante a dinâmica da simulação calcularmos apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E} , atualizando a nova energia do sistema com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_\nu = E_\mu + \Delta E} . Para obtermos um novo estado, escolhemos aleatoriamente um spin e calculamos a variação de energia ao invertemos ele. Da equação (1), temos que só um spin Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s_k)} irá mudar de estado; logo, apenas seus vizinhos serão afetados. Temos que, para qualquer valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k^\nu - s_k^\mu = -2s_k^\mu} . Utilizando isso e fazendo a diferença entre as energias, podemos escrever

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E = 2s_k(J\displaystyle \sum_j s_{j} + H),}

onde o somatório se dá nos vizinhos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k} . Durante todo o processo de simulação que fizemos, utilizamos medidas de temperatura em unidades de energia. Dessa forma, temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B = 1} . Além disso, também utilizamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J=1} . É interessante ressaltar que, durante a simulação, escolhemos medir o tempo de simulação em passos de Monte Carlo (Monte Carlo steps, ou apenas MCS), que representa o fato de que todos os spins do sistema receberam a chance de inverterem de estado. Em outras palavras, em um sistema com N spins, já ocorreram N seleções aleatórias de spins para tentar a mudança de estado.

Medição

Temos algumas medidas relevantes a serem feitas nessa simulação. Uma delas é a medida da magnetização, ou seja, o estado total do sistema. A magnetização total é dada pela soma dos estados de todos os spins, ou seja

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_\mu = \displaystyle \sum_i s_i^\mu.} De forma similar ao que foi feito para a energia, uma boa estratégia de otimização para a medida da magnetização é calcular a magnetização total do sistema no estado inicial e então somar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta M} sempre que o sistema aceitar a mudança de estado. Sendo que para qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k} temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta M = s_k^\nu - s_k^\mu = 2s_k^\nu} , temos que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_\nu = M_\mu + 2s_k^\nu.}

Outra medida relevante é a suscetibilidade magnética do sistema, dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi = \frac{<M^2> - <M>^2}{Nk_BT},}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} é o número total de spins (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} ), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <M^2>} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <M>} são, respectivamente, a média quadrática da magnetização e média da magnetização durante a simulação. Por fim, temos a medida do calor específico do sistema, dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = \frac{<E^2> - <E>^2}{Nk_B^2T^2},}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <E^2>} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <E>} são, respectivamente, a média quadrática da energia do sistema e média da energia durante a simulação. Antes de começar a somar as medidas de magnetização e energia do sistema para os cálculos da suscetibilidade magnética e do calor específico, é interessante dar um tempo de equilíbrio para o sistema, ou seja, deixar a simulação ocorrer durante um determinado tempo.

Resultados

Transições de fase(?)

Conclusões e Observações

O modelo de Ising estudado neste trabalho é um modelo de spin extremamente simples. Outros modelos podem ser estudados. Por exemplo, podemos considerar os spins como sendo vetores de comprimento constante mas que tenham movimento de rotação em um plano[2], ou até mesmo considerar vetores em três dimensões[3]. Além disso, o alcance das interações entre os spins do sistema pode ser incrementada para os segundos, terceiros ou até mais distantes vizinhos mais próximos de um spin. Todos esses modelos têm sido estudados extensivamente. Apesar disso, o modelo simples em 2D com spins +1 e -1 estudado ainda representa bem as propriedades do sistema, principalmente o fenômeno de transição de fase.

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 N. J. Giordano, "Computational Physics". Department of Physics, Purdue University. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice-Hall, 1997.

[giordano-1] 1,0 ^1,1 N. J. Giordano, "Computational Physics". Department of Physics, Purdue University. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice-Hall, 1997.

[1]

Grupo - Ising 2D

Índice

Introdução

O Modelo de Ising

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O Método de Monte Carlo

Método de Metropolis

Implementação

Medição

Resultados

Transições de fase(?)

Conclusões e Observações

Referências

Menu de navegação

Grupo - Ising 2D

Introdução

O Modelo de Ising

Teoria do Campo Médio: Uma abordagem aproximada

O Método de Monte Carlo

Método de Metropolis

Implementação

Medição

Resultados

Transições de fase(?)

Conclusões e Observações

Referências

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