Grupo - Lennard Jones

O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância $r^{\prime }$ pode ser modelado pelo potencial de Lennard Jones:

$U^{\prime }(r^{\prime })=4ϵ[{\left(\frac{\sigma }{r^{\prime }}\right)}^{12}+{\left(\frac{\sigma }{r^{\prime }}\right)}^6].$

Posto em unidades reduzidas ($r\equiv r^{\prime }/\sigma$ e $U\equiv U^{\prime }/ϵ$), o potencial reduz-se a:

$U(r)=4[{\left(\frac{1}{r}\right)}^{12}+{\left(\frac{1}{r}\right)}^6].$

Trabalha-se, por conveniência, com o seguintes sistema de unidades básicas:

Grandeza	Comprimento	Tempo	Massa	Temperatura	Energia	Pressão	Densidade
Unidade	$\sigma$	$\sigma \sqrt{m_p/ϵ}$	$m_p$	$ϵ/k_B$	$ϵ$	$ϵ/{\sigma }^3$	$1/{\sigma }^3$

onde $m_p$ é a massa da partícula e $k_B$ é a constante de Boltzmann. .

Método Monte Carlo

Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.

Amostragem simples

Pode-se querer calcular uma integral numericamente utilizando Monte Carlo. Uma forma de fazer isso parte de que uma integral pode ser reescrita como

$F=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)⟨f(x)⟩$

Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar $⟨f(x)⟩$, que é a média da função no intervalo de interesse.

Amostragem por importância

Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, pra uma função que decaia rapidamente a zero, demorar muito a estimar corretamente o valor médio da função. Porém, podemos utilizar uma distribuição $w(x)$ que tenha um formato semelhante à função que queremos integrar, reescrevendo a integral $F=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{w(x)}w(x)dx$

Algoritmo de Metropolis

Dado uma amostra com $N$ partículas, a abordagem introduzida por Metropolis segue o seguinte esquema:

(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia $U(r)$;

(2) Dado o deslocamento ${\mathbf{r}}_{\mathbf{𝐧}}=\mathbf{𝐫}+\mathrm{\Delta }$, calcular $U(r_n)$;

(3) Aceitar o movimento $\mathbf{𝐫}\to {\mathbf{r}}_{\mathbf{𝐧}}$ com probabilidade $p=min\{1;\exp [-\beta (U(r_n)-U(r))]\}$

Estimadores no Equilíbrio

Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura bem definidos. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas a energia total ($U$) e a pressão ($P$), onde

$P=\frac{\rho }{\beta }+\frac{2}{3V}\sum _i\sum _{j>i}\mathbf{𝐟}\mathbf{(}{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐣}}\mathbf{)}\cdot {\mathbf{r}}_{\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐣}}$

Além disso, é interrsante a analise da capacidade térmica ($C_v$):

$C_v=\frac{⟨U^2⟩-⟨U{⟩}^2}{k_{B}T}$

Referências

• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
• Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
• Crank, J.; Nicolson, P. (1947). "A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type". Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.
• Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
• Born M., Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf