Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi (x,t)=0$

onde $(◻=\frac{{\partial }^2}{c^2\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$ (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda $\psi (x,t)$ é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\mathrm{\Delta }t$ criando uma sequência de pontos $t_n=n\mathrm{\Delta }t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\mathrm{\Delta }x$ criando uma sequência de pontos $x_i=i\mathrm{\Delta }x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

$\frac{\partial u}{\partial t}\approx \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}$ e $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\approx \frac{u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1}}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$ para o tempo.

$\frac{\partial u}{\partial x}\approx \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial t^2}\approx \frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}\approx \frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\mathrm{\Delta }x,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

ou seja:

$\frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=c^2\frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)=\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta },t)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}\psi$

chamarei $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$ e $\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }$

portanto, $\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)={\alpha }^2\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)-{\beta }^2\psi$

ou, mais usualmente: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+{\alpha }^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-{\beta }^2\psi$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi .$

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}{\psi }_i^n.$ Aqui, definimos os coeficientes: $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x},\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }.$

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: ${\psi }_i^n=G^n{e}^{ik{x}_i},$ onde:

na equação: $G^{n+1}{e}^{ik{x}_i}=2G^n{e}^{ik{x}_i}-G^{n-1}{e}^{ik{x}_i}+{\alpha }^2{G}^n(e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}})-{\beta }^2{G}^n{e}^{ik{x}_i}.$

Simplificação:

Como $e^{ik{x}_{i+1}}=e^{ik{x}_i}{e}^{ik\mathrm{\Delta }x}$ e $e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}{e}^{-ik\mathrm{\Delta }x}$, o termo centralizado se torna: $e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}(e^{ik\mathrm{\Delta }x}-2+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}).$ Usando $e^{ik\mathrm{\Delta }x}+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}=2\cos (k\mathrm{\Delta }x)$, temos: $e^{ik{x}_{i+1}}-2e^{ik{x}_i}+e^{ik{x}_{i-1}}=e^{ik{x}_i}(-2+2\cos (k\mathrm{\Delta }x)).$ Substituímos isso na equação e cancelamos o fator $e^{ik{x}_i}$, que nunca é zero: $G^{n+1}=2G^n-G^{n-1}-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))G^n-{\beta }^2{G}^n.$

Simplificando mais, obtemos: $G^{n+1}=(2-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))-{\beta }^2)G^n-G^{n-1}.$

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática $G$: $G^2-G(2-{\alpha }^2(2-2\cos (k\mathrm{\Delta }x))-{\beta }^2)+1=0.$

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de $G$ devem satisfazer $|G|\le 1$. Isso leva ao critério: $\alpha \le 1,\text{ou seja,}\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}\le 1.$

Conclusão Matemática: A condição $\alpha \le 1$ garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo $\mathrm{\Delta }t$, mais precisa e estável é a solução. A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito $\mathrm{\Delta }t$ sem ajustar $\mathrm{\Delta }x$ pode levar à instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=A{e}^{-\frac{x-x_0}{2{\sigma }^2}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e $\frac{\partial \psi (x,0)}{\partial t}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_0$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

Localização Inicial: No gráfico mostrado, $\psi (x,t)$ tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, $\psi (x,t)$ tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Código utilizado

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.animation import FuncAnimation

L = 10.0 # Comprimento da simulação

Nx = 100 # Número de pontos espaciais

dx = L / Nx # Passo espacial

T_max = 30 # Tempo máximo de simulação

m = 1.0 # Massa da partícula

c = 1.0 # Velocidade da luz

hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

A = 1.0 # Amplitude do pulso

x0 = L / 2 # Posição central do pulso

sigma = 0.5 # Largura do pulso

x = np.linspace(0, L, Nx)

phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))

dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

1. estabilidade

alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)

dt_stable = alpha_stable * dx / c

alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)

dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)

Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

def evolve_wave(dt, Nt):

   phi = np.zeros((Nt, Nx))

   phi[0, :] = phi_0

   phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

   for n in range(1, Nt-1):

       for i in range(1, Nx-1):

           phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (

               (phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2 

               - (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
           )

   return phi

phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)

phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

def update_stable(frame):

   ax[0].cla()

   ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')

   ax[0].set_title("Evolução Estável")

   ax[0].set_xlim(0, L)

   ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)

   ax[0].legend()

def update_unstable(frame):

   ax[1].cla()

   ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')

   ax[1].set_title("Evolução Instável")

   ax[1].set_xlim(0, L)

   ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)

   ax[1].legend()

def init():

   for a in ax:

       a.clear()

   return ax

1. Atualização combinada para animação

def update(frame):

   update_stable(frame)

   update_unstable(frame)

   return ax

1. Criando a animação

frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))

frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))

ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)),

init_func=init, blit=False)

1. Salvando as animações

fig.tight_layout()

ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()