Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi (x,t)=0$

onde $(◻=\frac{{\partial }^2}{c^2\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\mathrm{\Delta }t$ criando uma sequência de pontos $t_n=n\mathrm{\Delta }t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\mathrm{\Delta }x$ criando uma sequência de pontos $x_i=i\mathrm{\Delta }x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

$\frac{\partial u}{\partial t}\approx \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}$ e $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\approx \frac{u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1}}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$ para o tempo.

$\frac{\partial u}{\partial x}\approx \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial t^2}\approx \frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}\approx \frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\mathrm{\Delta }x,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

ou seja:

$\frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=c^2\frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)=\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta },t)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}\psi$

chamarei $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$ e $\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }$

portanto, $\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)={\alpha }^2\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)-{\beta }^2\psi$

ou, mais usualmente: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+{\alpha }^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-{\beta }^2\psi$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

A equação discretizada é dada por:

${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}{\psi }_i^n$ Definimos:

$$ para simplificar a notação, e escrevemos:

${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+s^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}{\psi }_i^n.$

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

${\psi }_i^n=A{e}^{i(k{x}_i-\omega t_n)},$ onde:

$A$ é a amplitude, $k$ é o número de onda, $\omega$ é a frequência angular discreta, $x_i=i\mathrm{\Delta }x$ e $t_n=n\mathrm{\Delta }t$ são os pontos espaciais e temporais. No esquema discreto:

${\psi }_i^n=A{e}^{i(ki\mathrm{\Delta }x-\omega n\mathrm{\Delta }t)}.$ Substituímos nas expressões de ${\psi }_i^{n+1}$, ${\psi }_i^n$, ${\psi }_i^{n-1}$, ${\psi }_{i+1}^n$, e ${\psi }_{i-1}^n$:

${\psi }_i^{n+1}=A{e}^{i(ki\mathrm{\Delta }x-\omega (n+1)\mathrm{\Delta }t)}={\psi }_i^n{e}^{-i\omega \mathrm{\Delta }t}.$ De forma semelhante:

${\psi }_i^{n-1}={\psi }_i^n{e}^{i\omega \mathrm{\Delta }t},{\psi }_{i+1}^n={\psi }_i^n{e}^{ik\mathrm{\Delta }x},{\psi }_{i-1}^n={\psi }_i^n{e}^{-ik\mathrm{\Delta }x}.$

Substituímos essas expressões na equação:

${\psi }_i^n{e}^{-i\omega \mathrm{\Delta }t}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^n{e}^{i\omega \mathrm{\Delta }t}+s^2({\psi }_i^n{e}^{ik\mathrm{\Delta }x}-2{\psi }_i^n+{\psi }_i^n{e}^{-ik\mathrm{\Delta }x})-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}{\psi }_i^n.$ Dividimos tudo por ${\psi }_i^n$:

$e^{-i\omega \mathrm{\Delta }t}=2-e^{i\omega \mathrm{\Delta }t}+s^2(e^{ik\mathrm{\Delta }x}-2+e^{-ik\mathrm{\Delta }x})-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}.$

Para simplificar, usamos:

$e^{ik\mathrm{\Delta }x}+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}=2\cos (k\mathrm{\Delta }x),$ e

$e^{-i\omega \mathrm{\Delta }t}+e^{i\omega \mathrm{\Delta }t}=2\cos (\omega \mathrm{\Delta }t).$ Substituímos e reorganizamos:

$\cos (\omega \mathrm{\Delta }t)=1-s^2(1-\cos (k\mathrm{\Delta }x))-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{2{\hslash }^2}.$

Para que a solução seja estável, o módulo de $\cos (\omega \mathrm{\Delta }t)$ deve ser no máximo 1 ($|\cos (\omega \mathrm{\Delta }t)|\le 1$). Isso impõe a seguinte condição no termo $s^2$:

$s^2=\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\le 1.$ Ou seja:

$\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}\le 1.$

$s=\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$ representa a relação entre os passos no tempo ($\mathrm{\Delta }t$) e no espaço ($\mathrm{\Delta }x$). Se $s>1$, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=A{e}^{-\frac{x-x_0}{2{\sigma }^2}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e $\frac{\partial \psi (x,0)}{\partial t}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_0$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: