Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\Delta t$ criando uma sequência de pontos $t_{n}=n\Delta t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\Delta x$ criando uma sequência de pontos $x_{i}=i\Delta x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}$ e ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-2u_{i}^{n}+u_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}$ para o tempo.

${\frac {\partial u}{\partial x}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta ,t)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

chamarei $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ e $\beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}$

portanto, $\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)=\alpha ^{2}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)-\beta ^{2}\psi$

ou, mais usualmente: $\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-\beta ^{2}\psi$

ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

$\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}\left(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n}\right)-\beta ^{2}\psi _{i}^{n}$.

sendo $\psi _{i}^{n}=A^{n}e^{iki\Delta x}$ o Modo de Furrier.

Substituímos $\psi _{i}^{n},\psi _{i+1}^{n}$, e $\psi _{i-1}^{n}$na equação:

$\psi _{i+1}^{n}=A^{n}e^{ik(i+1)\Delta x}=A^{n}e^{iki\Delta x}e^{ik\Delta x}$

$\psi _{i-1}^{n}=A^{n}e^{ik(i-1)\Delta x}=A^{n}e^{iki\Delta x}e^{-ik\Delta x}$

Usamos a identidade $e^{ik\Delta x}+e^{-ik\Delta x}=2\cos(k\Delta x)$:

$A^{n+1}=2A^{n}-A^{n-1}+\alpha ^{2}\left[2\cos(k\Delta x)-2\right]A^{n}-\beta ^{2}A^{n}$

Fatoramos:

$A^{n+1}=\left(2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)\right)A^{n}-A^{n-1}.$

A relação de recorrência é:

$A^{n+1}-\lambda A^{n}+A^{n-1}=0$

onde

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)$.

Definimos $\mu =|{\frac {A^{n+1}}{A^{n}}}|$ como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica $\mu A^{n}=\lambda A^{n}-A^{n}{\frac {A^{n-1}}{A^{n}}}$

Dividindo tudo por $A^{n}$ : $\mu =\lambda -{\frac {1}{\mu }}$

Portanto, a equação característica associada é:

$\mu ^{2}-\lambda \mu +1=0$

onde $\mu$ são as raízes que representam o fator de amplificação $\mu =|{\frac {A^{n+1}}{A^{n}}}|$.

Para que o método seja estável, as raízes $\mu$ devem satisfazer $\|\mu |\leq 1$. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

$\lambda ^{2}-4\leq 0$.

Substituímos $\lambda$:

$\left(2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)\right)^{2}-4\leq 0$.

O caso crítico ocorre para o maior valor de $cos(k\Delta x)$, que é $cos(k\Delta x)=1$, e o menor valor, $cos(k\Delta x)=-1$:

$cos(k\Delta x)=1$:

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}$.

Isso simplifica para:

$\lambda =2-\beta ^{2}$

Para estabilidade:

$(2-\beta ^{2})^{2}-4\leq 0$.

$\beta \geq 0$.

Para $cos(k\Delta x)=-1$:

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}-2\alpha ^{2}$.

$\lambda =2-4\alpha ^{2}-\beta ^{2}$.

Ou seja, para que seja estável:

$(2-4\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}-4\leq 0$.

Após expandir:

$\alpha \geq {\frac {\beta }{2}}$.

A condição de estabilidade combinada é:

$\alpha \geq {\frac {\beta }{2}}$ e $\beta \geq 0$ .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma: $\phi _{j}^{n}=e^{i(kj\Delta x-\omega n\Delta t)},$

onde $k$ é o número de onda e $\omega$ é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos: ${\frac {e^{-i\omega \Delta t}-2+e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^{2}}}={\frac {c^{2}}{\Delta x^{2}}}\left(e^{ik\Delta x}-2+e^{-ik\Delta x}\right)-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}.$

$\phi _{j+1}^{n}=e^{ik\Delta x}\phi _{j}^{n},\quad \phi _{j-1}^{n}=e^{-ik\Delta x}\phi _{j}^{n},$ $\phi _{j}^{n+1}=e^{-i\omega \Delta t}\phi _{j}^{n},\quad \phi _{j}^{n-1}=e^{i\omega \Delta t}\phi _{j}^{n}.$

Substituindo essas expressões na equação discreta: $e^{-i\omega \Delta t}\phi _{j}^{n}-2\phi _{j}^{n}+e^{i\omega \Delta t}\phi _{j}^{n}={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\left(e^{ik\Delta x}\phi _{j}^{n}-2\phi _{j}^{n}+e^{-ik\Delta x}\phi _{j}^{n}\right)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi _{j}^{n}.$

Dividindo todos os termos por $\phi _{j}^{n}$ (assumindo $\phi _{j}^{n}\neq 0$) e rearranjando, obtém-se: ${\frac {e^{-i\omega \Delta t}-2+e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^{2}}}={\frac {c^{2}}{\Delta x^{2}}}\left(e^{ik\Delta x}-2+e^{-ik\Delta x}\right)-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}.$

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna: ${\frac {-4\sin ^{2}(\omega \Delta t/2)}{\Delta t^{2}}}={\frac {-4c^{2}\sin ^{2}(k\Delta x/2)}{\Delta x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}.$

Multiplicando por $-1$, obtemos: ${\frac {4\sin ^{2}(\omega \Delta t/2)}{\Delta t^{2}}}={\frac {4c^{2}\sin ^{2}(k\Delta x/2)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}.$ Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que $\sin ^{2}(\omega \Delta t/2)$ seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição: ${\frac {4c^{2}\sin ^{2}(k\Delta x/2)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\leq {\frac {4}{\Delta t^{2}}}.$

Logo, o passo temporal $\Delta t$ deve satisfazer:

$\Delta t\leq 2{\sqrt {{\frac {\Delta x^{2}}{4c^{2}\sin ^{2}(k\Delta x/2)}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}c^{4}}}}}.$

No limite de $m\to 0$ (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=Ae^{-{\frac {x-x_{0}}{2\sigma ^{2}}}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e ${\frac {\partial \psi (x,0)}{\partial t}}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_{0}$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: