Grupo2 - Ondas1

Integrantes do grupo: Rodrigo Zamin Ferreira (262692), Leonardo Xavier Rodrigues (262696), Maurício Gomes de Queiroz (264889) e Rodrigo Lopes de Sousa Silva (262705)

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Inicialmente, para testarmos os diferentes métodos, utilizaremos a equação da onda em uma dimensão, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para modelarmos uma corda:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

em que $u(x,t)$ é o deslocamento vertical da corda, $c$ é a velocidade de propagação da onda e $0<x<L$, com $L$ o comprimento da corda.

Admitindo $c=1$,

${\frac {\partial }{\partial t}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}$ .

Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$, de forma que:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}={\dfrac {\partial w}{\partial x}}\\\\{\dfrac {\partial v}{\partial x}}={\dfrac {\partial w}{\partial t}}\\\end{cases}}$

As condições de contorno utilizadas aqui são $u(0,t)=u(L,t)=0$ (pontas fixas), e as condições iniciais são $u(x,0)=\sin {{\Big (}{\frac {\pi x}{L}}{\Big )}}$ e ${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados. A respeito das discretizações, $j$ corresponde à posição, e $n$ representa o tempo.

Método de Lax-Friedrichs - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t)$

Esse método consiste em inicialmente discretizar as equações no esquema FTCS (Forward Time Centered Space), ou seja, discretizando a derivada temporal utilizando os tempos n e n+1 e a derivada espacial através das posições j-1 e j+1:

${\frac {1}{\Delta t}}(v_{j}^{n+1}-v_{j}^{n})={\frac {1}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

${\frac {1}{\Delta t}}(w_{j}^{n+1}-w_{j}^{n})={\frac {1}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Resultando em

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Entretanto, ao se realizar uma análise de estabilidade de Von Neumann, conclui-se que esse método é instável . Para torná-lo estável, é necessário trocarmos os termos $v_{j}^{n}$ e $w_{j}^{n}$ por suas médias espaciais, chegando, assim, na expressão do esquema de Lax-Friedrichs:

$v_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {v_{j-1}^{n}+v_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {w_{j-1}^{n}+w_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$.

Para obtermos o valor de $u_{j}^{n+1}$, que é o nosso objetivo, discretizamos a equação ${\frac {\partial u}{\partial t}}=v$

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$,

Embora as médias espaciais sejam necessárias para a estabilidade do método, elas introduzem um problema: surge um efeito chamado de dissipação numérica, ou seja, a amplitude da solução diminui com o tempo. Isso pode ser observado através da análise de Von Neumann ou de uma investigação da equação do esquema Lax-Friedrichs . Por este método, observa-se que ao inserirmos as médias, mudamos a equação original do problema, pois agora há também um termo do tipo difusivo (uma derivada segunda), com constante de difusão ${\frac {(\Delta x)^{2}}{2\Delta t}}$ .

Agora vamos unir todas as equações, utilizando, além da equação para $u$ obtida acima, as discretizações de $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$

$v_{j}^{n}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})$,

$w_{j}^{n}={\frac {1}{2\Delta x}}(u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n})$.

Assim, obtemos

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n}+u_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}-{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n-1}+u_{j+1}^{n-1}}{2}}{\Big )}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{4(\Delta x)^{2}}}{\Big (}u_{j-2}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j+2}^{n-1}{\Big )}$.

Método de Leapfrog - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t^{2})$

Neste método utilizamos os pontos intermediários na discretização das equações.

Para $v$ temos

${\frac {1}{\Delta t}}{\bigg (}v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\Delta x}}{\Big (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}\Rightarrow v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}$,

Para $w$ temos

${\frac {1}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\Delta t}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}-w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}{\bigg )}\Rightarrow w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

Para $u$ temos

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {\partial u}{\partial t}}{\bigg |}_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})\Rightarrow u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t$,

Utilizando o fato de que

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\Delta t}}(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n})$,

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}(u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n})$,

chegamos na equação para $u_{j}^{n+1}$

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n})$,

o que é equivalente a discretizarmos a equação da onda diretamente, utilizando que, para uma função $f(x)$,

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}{\bigg |}_{j}={\frac {1}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}-2f_{j}+f_{j+1})$,

sendo $j$ a discretização em $x$.

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos - ${\mathcal {O}}(\Delta x^{2},\Delta t^{2})$

O primeiro passo consiste em calcular o valor de $v^{n+{\frac {1}{2}}}$ e $w^{n+{\frac {1}{2}}}$ utilizando o método de Lax-Friedrichs, para posterior cálculo de $v^{n+1}$ e $w^{n+1}$:

$v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}+v_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j}^{n})$,

$v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j}^{n}-w_{j-1}^{n})$,

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}+w_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j}^{n})$,

$w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j}^{n}-v_{j-1}^{n})$,

Agora, no tempo $n+1$:

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\bigg (}v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}{\bigg )}$,

Agrupando as equações,

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-2w_{j}^{n}+w_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

$v_{j}^{n+1}=v_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-2v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n}){\Bigg ]}$,

E finalmente temos a equação unificada em u, utilizando a expressão para $v_{j}^{n+1}$ e as discretizações de $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$, como obtidas na seção sobre o Método de Lax-Friedrichs:

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}}{\Bigg [}{\frac {1}{2}}u_{j+2}^{n-1}-{\frac {1}{2}}u_{j-2}^{n-1}+u_{j+1}^{n}-u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n}-u_{j-1}^{n-1}{\Bigg ]}$,

Programas

Ao implementarmos o método, surgem dois problemas: o problema não é auto-inicializável, pois para calcularmos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{1}} , necessitamos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} (além de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{0}} ). Entretanto, isto é rapidamente solucionado quando discretizamos a condição inicial de que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2\Delta t} (u_j^{1} - u_j^{-1}) = 0 \Rightarrow u_j^{1} = u_j^{-1}} ,

ou seja, para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} , utilizamos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{1} = u_j^{-1} } . Através do método de Leapfrog, dessa forma conseguimos isolar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{-1} = 2u_{j}^{0} - u_{j}^{-1} + \frac{(\Delta t)^2}{(\Delta x)^2}(u_{j+1}^{0} - 2u_{j}^{0} + u_{j-1}^{0})} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{-1} = u_{j}^{0} + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2}(u_{j+1}^{0} - 2u_{j}^{0} + u_{j-1}^{0})} .

Porém, isso não ocorre com os outros dois métodos, pois surgem termos em diferentes posições para o tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=0} (de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-2}^{0}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^{0}} , até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{2}^{0}} ), sendo necessário resolvermos o sistema como um todo simultaneamente, ou seja, teríamos que inverter uma matriz. Por isso, foi utilizado o método de Leapfrog para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} em todos os métodos, devido a sua simplicidade.

Além disso, são necessários valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^n} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}+1}^n} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j_{max}} correspondendo a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = L} , para calcularmos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1^{n}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}}^{n}} , para qualquer tempo, utilizando os métodos de Lax-Wendroff de dois passos e Lax-Friedrichs. A solução a este problema foi utilizarmos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^n = -u_{1}^n }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}+1}^n = -u_{j_{max}-1}^n } .

Pensando na condição inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,0) = \sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)} } , e estendendo para além da corda (pensando no seno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty<x<\infty } ), observamos que ela respeita as equações acima.

Solução e Análise de erros

Primeiramente, apresentamos abaixo as soluções geradas pelos programas, em comparação com a solução analítica, e, em seguida, será mostrada a análise de erros.

Comparação da solução analítica com as soluções numéricas

Aqui já podemos observar o que foi comentado na seção sobre o método de Lax-Friedrichs: devido à dissipação numérica inerente ao método, há uma diminuição da amplitude da onda ao longo do tempo, embora ela mantenha sua forma. Isso interferirá na análise do erro deste método, o que será apresentado na sequência.

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = \frac{\Delta t}{\Delta x}} . Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro).

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração. Nesse caso, a solução é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x, t) = \cos{\Big(\frac{\pi t}{L}\Big)}\sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)}} .

O erro foi obtido efetuando uma média espacial, ou seja, o programa foi evoluindo até um tempo final Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_f = 100} , e, em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=t_f} , foi feita uma média sobre o valor absoluto da diferença entre a solução analítica e a numérica. Aqui variamos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} , fixando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x=1} , de forma que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\Delta t} .

Comparação do erro global entre os três métodos estudados com escala logarítimica em ambos os eixos

Podemos observar que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior, como seria de se esperar.

Além disso, sabendo a ordem do erro dos métodos, podemos determinar a inclinação da reta que melhor se ajusta aos pontos. Se um método tem erro de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta t)^n}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon _l = \alpha (\Delta t)^n} em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon _l} é o erro local, ou seja, o erro de um passo do método, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é uma constante. Assim, o erro global Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon _g} , ou seja, o erro após N passos, é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon _g = N\varepsilon _l= N\alpha (\Delta t)^n }

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = \frac{t_f}{\Delta t}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon _g = \frac{t_f}{\Delta t}\alpha (\Delta t)^n = \alpha t_f (\Delta t)^{n-1}} Logo, se o erro local é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta t)^n} , o erro global (que é o que calculamos aqui) é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta t)^{n-1}} . Além disso, como utilizamos escala logarítmica para representar os resultados, a função do erro global se torna

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log{\varepsilon _g} = \log{\alpha t_f (\Delta t)^{n-1}}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log{\varepsilon _g} = \log{\alpha t_f} + (n-1)\log{(\Delta t)}}

Ou seja, a inclinação do gráfico do erro global é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} .

Observamos que se determinarmos a reta que melhor se ajusta às curvas dos métodos de Leapfrog e Lax-Wendroff, ela tem inclinação aproximada de 1, já que os métodos são de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta t)^2} . Com relação ao gráfico do erro do método de Lax-Friedrichs, é mais complicado de fazer sua análise, uma vez que há o efeito de dissipação numérica, que se intensifica para valores menores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} . Podemos observar nos dados que o ponto de máximo na parte esquerda do gráfico corresponde a um erro de aproximadamente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0,63} , que é a média da solução analítica no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = t_f} (conforme solução analítica, a amplitude no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=100} é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos{\Big(\frac{100\pi}{49}\Big)} \approx 1} , e a média de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)}} vale Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2}{\pi} \approx 0.64} ). Isso significa que, devido à dissipação, a solução numérica é praticamente 0 frente à solução analítica na parte esquerda do gráfico.

Simulação de Propagação de Onda 2D no Mar Dependente de Topografia

O modelo mais simples para a propagação de onda dependente da topografia parte da equação da onda [1], incluindo um termo da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} .

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Big( \frac{\partial}{\partial x} H(x,y,t) \frac{\partial u}{\partial x}\Big) + \Big( \frac{\partial}{\partial y} H(x,y,t) \frac{\partial u}{\partial y}\Big) - \frac{\partial^2 H}{\partial t^2} } ,

Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Exemplo de mapeamento de terreno sub - calota polar feito por AUV (autonomous underwater vehicle)[2]

Como primeira abordagem visando uma análise em 2D, a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a medida que a profundidade diminui, a amplitude da onda e sua frequência crescem [5]. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

Simulação em 1D de ondas perto da margem

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependência em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Estendendo o algoritmo do Leap-Frog à situação 2D, obtemos, para uma dada condição inicial e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y) = C} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} é uma constante de valor igual a 1 e H não depende do tempo, por questão de simplicidade:

Simulação em 2D de ondas em águas com profundidade constante, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com profundidade constante, visão em ângulo

Podemos então, analisar como a mesma condição inicial se porta quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} descreve uma gaussiana na origem:

Simulação em 2D de ondas em águas com gaussiana na origem, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com gaussiana na origem, visão em ângulo

Perfil da onda em sua diagonal:

Perfil da onda em sua diagonal no tempo de simulação igual a 300

Bibliografia

¹"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [2]; Último acesso em 23/10/2017.

²"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.

³ Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

⁴ "Métodos Computacionais da Física C - Aula 2 - 2016/1" por Heitor C. M. Fernandes, Instituto de Física, UFRGS; Último acesso em 23/10/2017.