Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde

$\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$

então

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

no método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,-\Delta ,t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi }

chamarei Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,-\Delta,t) - \beta^2 \psi }