Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor

Equação do Calor (1D)

A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura $u(x,t)$ ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica ($\alpha$). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:

$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$

Condições Iniciais

$u(t=0,x)=sin(\pi x)$

Condições de Contorno

$u(t,x=0)=0=u(t,x=L)$

Forma Fraca

• Multiplica-se por uma função teste $v$ do mesmo espaço de funções definido nos elementos.

$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}v=\alpha \frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}v$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}v(x)dx=\alpha \underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}v(x)dx$

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,L] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento $\mathrm{\Delta }x$, e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.