Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

De Física Computacional
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Introdução

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.

Equações para Duas Populações

Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:

Nesse par, e representam as duas populações consideradas; e indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; e retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e e , o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Para a adição de ruído ao sistema, vamos supor que o termo estocástico seja incorporado em cada equação de maneira a afetar somente a população ou a população , ou seja, estamos considerando que o ruído atinja cada população de maneira proporcional a sua quantidade de indivíduos em determinado período de tempo. Como um exemplo prático, podemos pensar no termo estocástico como a presença de um agente externo que infecte uma das populações isoladamente. Claro que o efeito resultante de existir uma doença se espalhando na espécie afeta o crescimento da espécie , entretanto esse efeito não é direto, sendo uma consequência da correlação entre o par de equações.

Método da Integral de Itô

Equações para Três Populações


Equações para N Populações


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