Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

Introdução

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.

Equações para Duas Populações

Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:

${\frac {dx_{1}}{dt}}=r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {x_{1}+\alpha _{12}x_{2}}{K_{1}}}\right)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=r_{2}x_{2}\left(1-{\frac {x_{2}+\alpha _{21}x_{1}}{K_{2}}}\right)$

Nesse par, $x_{1}$ e $x_{2}$ representam as duas populações consideradas; $r_{1}$ e $r_{2}$ indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; $K_{1}$ e $K_{2}$ retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e $\alpha _{12}$ e $\alpha _{21}$, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Para a adição de ruído ao sistema, vamos supor que o termo estocástico seja incorporado em cada equação de maneira a afetar somente a população $x_{1}$ ou a população $x_{2}$, ou seja, estamos considerando que o ruído atinja cada população de maneira proporcional a sua quantidade de indivíduos em determinado período de tempo. Como um exemplo prático, podemos pensar no termo estocástico como a presença de um agente externo que infecte uma das populações isoladamente. Claro que o efeito resultante de existir uma doença se espalhando na espécie $x_{1}$ afeta o crescimento da espécie $x_{2}$, entretanto esse efeito não é direto, sendo uma consequência da correlação entre o par de equações.

Equações para Três Populações

${\frac {dx_{1}}{dt}}=r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+\alpha _{13}x_{3}}{K_{1}}}\right)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=r_{2}x_{2}\left(1-{\frac {x_{2}+\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{23}x_{3}}{K_{2}}}\right)$

${\frac {dx_{3}}{dt}}=r_{3}x_{3}\left(1-{\frac {x_{3}+\alpha _{31}x_{1}+\alpha _{32}x_{2}}{K_{1}}}\right)$

Equações para N Populações

${\frac {dx_{i}}{dt}}=r_{i}x_{i}\left(1-{\frac {\sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}x_{j}}{K_{i}}}\right)$

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