Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

Introdução

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade, juntamente da adição de um termo estocástico multiplicativo. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações. Em todas as etapas serão mostrados os resultados considerando e desconsiderando o ruído para fins comparativos.

Equações para Duas Populações

Como uma primeira análise, considerando somente duas populações distintas, vamos explorar o modelo logístico, partindo das Equações de Lotka-Volterra, de duas espécies disputando um território, que pode ser descrito pelo seguinte par de relações:

$\frac{d{x}_1}{dt}=r_1{x}_1(1-\frac{x_1+{\alpha }_{12}{x}_2}{K_1})$

$\frac{d{x}_2}{dt}=r_2{x}_2(1-\frac{x_2+{\alpha }_{21}{x}_1}{K_2})$

Nesse par, $x_1$ e $x_2$ representam as duas populações consideradas; $r_1$ e $r_2$ indicam o crescimento inerente per-capita, a capacidade de uma espécie em se reproduzir; $K_1$ e $K_2$ retratam a capacidade de carga, o número de indivíduos limite que o meio ambiente consegue suportar considerando o nicho ecológico ao que a espécie pertence; e ${\alpha }_{12}$ e ${\alpha }_{21}$, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Equações para Três Populações

$\frac{d{x}_1}{dt}=r_1{x}_1(1-\frac{x_1+{\alpha }_{12}{x}_2+{\alpha }_{13}{x}_3}{K_1})$

$\frac{d{x}_2}{dt}=r_2{x}_2(1-\frac{x_2+{\alpha }_{21}{x}_1+{\alpha }_{23}{x}_3}{K_2})$

$\frac{d{x}_3}{dt}=r_3{x}_3(1-\frac{x_3+{\alpha }_{31}{x}_1+{\alpha }_{32}{x}_2}{K_1})$

Equações para N Populações

$\frac{d{x}_i}{dt}=r_i{x}_i(1-\frac{\sum _{j=1}^N{\alpha }_{ij}{x}_j}{K_i})$

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