Equações de Lotka-Volterra Estocásticas

Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

${\begin{cases}{\dot {x}}=x(a-by)\\{\dot {y}}=y(-c+fx)\end{cases}}$

onde $x$ e $y$ denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e $a$, $b$, $c$ e $f$ são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:

• $a$: taxa de crescimento livre da presa;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} : taxa de predação;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} : taxa de mortalidade livre do predador;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} : taxa de crescimento do predador devido à predação.

É interessante notar que o sistema apresenta um ponto fixo não trivial em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x^\ast, y^\ast) = \left(\frac{c}{f},\frac{a}{b}\right)} . Pode-se mostrar também que as demais soluções (além da trivial) são órbitas fechadas no espaço de fase.

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores. A fim de tornar esse modelo mais realista, pretendemos estudar versões estocásticas do mesmo, que podem ser construídas de diferentes maneiras, e analisar o efeito do ruído sobre o comportamento dinâmico.

Modelo estocástico

Buscamos construir um modelo estocástico de Lotka-Volterra utilizando um processo de Wiener; contudo, a adição de ruído branco nas equações diferenciais pode ser feita de várias maneiras. Consideraremos, aqui, duas delas: ruído adicionado nos parâmetros e ruído externo ao sistema.

Ruído externo

Como primeiro modelo, simplesmente adicionaremos um ruído externo nas equações diferenciais. Esse ruído pode ser interpretado como fatores ambientais independentes das populações, causando tanto benefícios (abundância de alimento, condições climáticas favoráveis para reprodução etc.) como prejuízos (escassez, condições climáticas desfavoráveis etc.). Como as equações tratam de densidades populacionais, devemos utilizar um ruído _multiplicativo_, pois os efeitos dos fatores externos sentidos pelas populações devem ser proporcionais ao tamanho dela. Assim, escrevemos o modelo como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \dot{X} = X(a - bY) + \epsilon_x \xi_x X\\ \dot{Y} = Y(-c + fX) + \epsilon_y \xi_y Y \end{cases} }

onde os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_i} são os ruídos brancos de cada variável, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_i} , a intensidade dos mesmos.

Ao escrever o diferencial total, obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} dX = X(a - bY)dt + \epsilon_x X \bullet dW_x \\ dY = Y(-c + fX)dt + \epsilon_y Y \bullet dW_y \end{cases} }

Analisaremos o modelo proposto no sentido de Itô e no sentido de Stratonovich.

Itô

Transformando as equações acima para equações diferenciais estocásticas no sentido de Itô, obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} dX = X(a - bY + \frac{1}{2} {\epsilon_x}^2)dt + \epsilon_x X dW_x \\ dY = Y(-c + fX + \frac{1}{2} {\epsilon_y}^2)dt + \epsilon_y Y dW_y \\ \end{cases} }

Observa-se que, além de um incremento de Wiener proporcional a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , obtém-se parâmetros determinísticos "efetivos" Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \to a + \frac{1}{2}{\epsilon_x}^2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \to c - \frac{1}{2}{\epsilon_y}^2} .

Ruído nos parâmetros

Uma outra maneira de explorar o ruído nas equações de Lotka-Volterra é substituir o ruído de tal maneira que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \to a + {\epsilon_x}X\xi(t)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \to c + {\epsilon_y}Y\xi(t)} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_y} são constantes e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} é o ruído branco definido pelo processo de Wiener. O que modelaria um sistema que relaciona as populações entre dois níveis vizinhos da cadeia alimentar, abrangendo uma biodiversidade representada por parâmetros efetivos estocásticos nas taxas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} proporcional ao número de presas e predadores, ou seja, há uma diversidade de taxas de reprodutibilidade das presas e mortalidades dos predadores, o que representaria diversas populações de especíes diferentes.

Código

A estrutura do código foi a mesma para os três casos considerados, mudando apenas os detalhes da equação diferencial utilizada. A integração numérica da parte determinística foi feita pelo Método de Heun.

Referências

1. BRAUER, F.; CASTILLO-CHAVEZ, C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York, NY: Springer New York, 2012. v. 40
2. COELHO, P. J. de O. Equações de Lotka–Volterra Estocásticas: Simulações com o Matlab. 25 de junho de 2015. Disponível em https://www.academia.edu/52185574/Sistema_de_competi%C3%A7%C3%A3o_Lotka_Volterra_sob_ru%C3%ADdo_branco. Acesso em ago. 2024.
3. SCHERER, C. Métodos computacionais da física. 2. ed ed. São Paulo: Liv. da Física, 2010.
4. KHASMINSKII, R. Z.; KLEBANER, F. C. Long term behavior of solutions of the Lotka-Volterra system under small random perturbations. The Annals of Applied Probability, v. 11, n. 3, 1 ago. 2001.