Pêndulos Estocásticos
Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} , sem massa e rígida que contém uma massa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2b\vec v} , a equação de movimento é dada por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) }
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_r(t)} ), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} da seguinte forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_r(t) = m \alpha \xi(t) }
em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é a intensidade do ruído. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1) }
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) }
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = l = 1 } , então
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) }
Método de integração
Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega := \dot \theta } , então ficamos com o seguinte sistema
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \dot \theta &= \omega \\ \dot \omega &= -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) \end{aligned} }
que pode ser escrito na forma diferencial
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} d\theta &= \omega dt \\ d\omega &= (-2b\dot \theta - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt \end{aligned} }