Pêndulos Estocásticos

Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento $l$, sem massa e rígida que contém uma massa $m$ pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulos simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é $-2b{\vec {v}}$, a equação de movimento é dada por:

${\ddot {\theta }}(t)=-{\frac {2b}{m}}{\dot {\theta }}-{\frac {g}{l}}sen(\theta )$

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em $m$ ($F_{r}(t)$), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano $\xi (t)$ da seguinte forma

$F_{r}(t)=m\alpha \xi (t)$

em que $\alpha$ é a intensidade do ruído. $\xi (t)$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:

$\langle \xi (t)\rangle =0,~~\langle \xi (t_{2})\xi (t_{1})\rangle =\delta (t_{2}-t_{1})$

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

${\ddot {\theta }}(t)=-{\frac {2b}{m}}{\dot {\theta }}-{\frac {g}{l}}sen(\theta )+{\frac {\alpha }{l}}\xi (t)$

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que $g=l=1$, então

${\ddot {\theta }}(t)=-2b{\dot {\theta }}-sen(\theta )+\alpha \xi (t)$

Método de integração

Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável $\omega :={\dot {\theta }}$, então ficamos com o seguinte sistema

${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=\omega \\{\dot {\omega }}&=-2b{\dot {\theta }}-sen(\theta )+\alpha \xi (t)\end{aligned}}$

que pode ser escrito na forma diferencial

${\begin{aligned}d\theta &=\omega dt\\d\omega &=(-2b{\dot {\theta }}-sen(\theta ))dt+\alpha \xi (t)dt\end{aligned}}$