Equação de Liouville-Bratu-Gelfand
Equação de Liouville-bratu-Gelfand
Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma
Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.
A solução de Liouville
In two dimension with Cartesian Coordinates (x,y) , Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as
λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]
where f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy . In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for f(z) . If r2=x2+y2 , then Walker's solution is
8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2
where a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n , but becomes infinite at the origin for n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1 . Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.
Radially symmetric forms
If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in n
dimension becomes
ψ″+n−1rψ′+λeψ=0
where r
is the distance from the origin. With the boundary conditions
ψ′(0)=0,ψ(1)=0
and for λ≥0 , a real solution exists only for λ∈[0,λc] , where λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1 , λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3 . For n=1, 2 , two solution exists and for 3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2) . For n≥10 , the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by λc=2(n−2) . Multiplicity of solution for n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.
The solution for n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by
ψ=−2ln[e−ψm/2cosh(λ2e−ψm/2r)]
where ψm=ψ(0)
is related to
λ
as
eψm/2=cosh(λ2e−ψm/2).
The solution for n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by
ψ=ln[64eψm(λeψmr2+8)2]
where ψm=ψ(0)
is related to
λ
as
(λeψm+8)2−64eψm=0.
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Método de Relaxação
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolve-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente
Referências
- https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
- Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.