Equação de Schrödinger Unidimensional

Conhecer o estado de uma partícula, na Mecânica Clássica, é saber, em um determinado momento, sua velocidade e sua posição. A partir destes valores, é possível determinar os seus futuros estados utilizando as relações fornecidas pelas Leis de Newton. Na Mecânica Quântica, porém, o estado físico não é mais caracterizado por uma quantidade discreta de valores numéricos, e sim, por uma função. A chamada Função de Onda, $\mathrm{\Psi }$, nos informa a evolução temporal do estado quântico de uma partícula, seguindo a Equação de Schrödinger. Em uma dimensão, a Equação de Schrödinger é dada por:

$-\frac{\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+V(x)\mathrm{\Psi }=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$

A fim de resolvê-la numericamente para diferentes tipos de potenciais, usou-se o Método de Crank-Nicolson de resolução de EDPs. Este método baseia-se em combinar os métodos explícito e implícito (com igual contribuição) para aumentar sua estabilidade.

O método explícito FTCS (Forward Time Central Space) consiste em tomar derivadas temporais "para frente" e manter a derivada espacial centrada.

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial x}=\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }x}$; $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }(x,t)}{{\partial }^{2}x}=\frac{(\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }x,t))-(\mathrm{\Psi }(x,t)-\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t))}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)+\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t)-2\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Tomando $\hslash =m=1$ (unidades atômicas), ao inserirmos as expressões acima na Equação de Schrödinger, temos que:

$\frac{i}{2}\frac{\mathrm{\Psi }(x+\mathrm{\Delta }x,t)+\mathrm{\Psi }(x-\mathrm{\Delta }x,t)-2\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}-iV(x)\mathrm{\Psi }(x,t)=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t+\mathrm{\Delta }t)-\mathrm{\Psi }(x,t)}{\mathrm{\Delta }t}$

Simplificando a notação para $\mathrm{\Psi }(x,t)={\mathrm{\Psi }}_j^n$, onde $j$ representa a posição e $n$ o tempo, e reorganizando os termos, ficamos com:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n)-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^n$

O método implícito é semelhante, porém a derivada temporal é "para trás".

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=\frac{\mathrm{\Psi }(x,t)-\mathrm{\Psi }(x,t-\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}$

O que nos leva a ter:

${\mathrm{\Psi }}_j^n={\mathrm{\Psi }}_j^{n-1}+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n)-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^n$

que, com uma substituição de variável (que é muda), nos dá, enfim:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})-i\mathrm{\Delta }t{V}_j{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}$

Como dito, o Método de Crank-Nicolson é uma combinação dos métodos implícito e explícito, cada um tendo o mesmo peso de 1/2. Ao somarmos as duas equações (cada uma multiplicada por 0.5), ficaremos com a seguinte expressão:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}={\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j({\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1})$

que, ao reorganizarmos para isolar os ${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}$, resulta em:

$(1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j){\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}=(1-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}{V}_j){\mathrm{\Psi }}_j^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n$