Corda Vibrante

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f~|~f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B=\{sen(\omega t)/{\sqrt {\pi }},cos(\omega t)/{\sqrt {\pi }}\}_{\omega \in \mathbb {R^{+}} }$ , pois elementos de $B$, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f=\omega /(2\pi )$. Dessa forma, um sinal arbitrário $s(t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s(t)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega$

E podemos extrair suas coordenadas ($a(\omega )$ e $b(\omega )$), fazendo o produto escalar com os elementos da base

${\begin{aligned}a(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {\pi }}}cos(\omega t)dt\\b(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\frac {1}{\sqrt {\pi }}}sen(\omega t)dt\end{aligned}}$

Se o domínio de $s(t)$ é limitado, digamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \in [0, T]} , então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(t)} , uma possível base ortonormal é a seguinte: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigg\{ \sqrt{\frac{1}{T}}, \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t), \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t) \bigg\}_{n \in \mathbb{N^*}}} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_n = \frac{n\pi}{T} } . Dessa forma, a representação e coordenadas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(t)} ficam

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} s(t) &= a_0\sqrt{\frac{1}{T}} + \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[a_n cos(\omega_n t) + b_n sen(\omega_n) \bigg] \\ a_0 &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{1}{T}}dt \\ a_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t)dt \\ b_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t)dt \\ \end{aligned} }

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{R}} } sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma animação que calcula as primeiras Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} coordenadas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0,\dots,a_N} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1,\dots,b_N} ) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida incrementando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_o} , então a função que representa esse sinal é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x_o, t)}