Corda Vibrante

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}=\{f|f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}\}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B=\{sen(\omega t)/\sqrt{\pi },cos(\omega t)/\sqrt{\pi }{\}}_{\omega \in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{+}}}$ , pois elementos de $B$, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f=\omega /(2\pi )$. Dessa forma, um sinal arbitrário $s(t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s(t)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega$

E podemos extrair suas coordenadas ($a(\omega )$ e $b(\omega )$), fazendo o produto escalar com os elementos da base

$\begin{array}{rl}a(\omega )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi }}cos(\omega t)dt\\ b(\omega )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi }}sen(\omega t)dt\end{array}$

Se o domínio de $s(t)$ é limitado, digamos $t\in [0,T]$, então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar $s(t)$, uma possível base ortonormal é a seguinte: $\{\sqrt{\frac{1}{T}},\sqrt{\frac{2}{T}}sen({\omega }_{n}t),\sqrt{\frac{2}{T}}cos({\omega }_{n}t){\}}_{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{\mathbb{*}}}$, em que ${\omega }_n=\frac{n\pi }{T}$. Dessa forma, a representação e coordenadas de $s(t)$ ficam

$\begin{array}{rl}s(t)& =a_0\sqrt{\frac{1}{T}}+\sqrt{\frac{2}{T}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cos({\omega }_{n}t)+b_{n}sen({\omega }_n)]\\ a_0& =\underset{0}{\overset{T}{\int }}s(t)\sqrt{\frac{1}{T}}dt\\ a_n& =\underset{0}{\overset{T}{\int }}s(t)\sqrt{\frac{2}{T}}cos({\omega }_{n}t)dt\\ b_n& =\underset{0}{\overset{T}{\int }}s(t)\sqrt{\frac{2}{T}}sen({\omega }_{n}t)dt\\ \end{array}$

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma animação que calcula as primeiras $N$ coordenadas ($a_0,\dots ,a_N$ e $b_1,\dots ,b_N$) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida incrementando $N$ até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em $x=x_o$, então a função que representa esse sinal é $y(x_o,t)$