Trabalhos 2024/1

Análise espectral

Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

Supremacia da álgebra linear

O seguinte conjunto ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}=\{f|f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}\}$ é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base $B=\{sen(\omega t)/\sqrt{2\pi },cos(\omega t)/\sqrt{2\pi }{\}}_{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{+}}}$ , pois elementos de $B$, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor $f=\omega /(2\pi )$. Dessa forma, um sinal arbitrário $s(t)$ pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam

$s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega$

E podemos extrair suas coordenadas ($a(\omega )$ e $b(\omega )$), fazendo o produto escalar com os elementos da base

$\begin{array}{rl}a(\omega )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}cos(\omega t)dt\\ b(\omega )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}sen(\omega t)dt\end{array}$

Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em $x=x_o$, então a função que representa esse sinal é $y(x_o,t)$